状態遷移行列の座標変換について。

質問

状態遷移行列の座標変換について。
添付画像の式の証明をご存知の方いらっしゃいませんか。
Ｔは座標変換行列で、（Ｔ＾－１）ＡＴで対角行列になります。

森秦親先生の「演習で学ぶ現代制御理論」本の中で、可制御性グラム行列の正則性が座標変換によって不変であることの証明に、この式が使われています。その他の本を読んでも、既知として使われているので、どう証明されているのか分かりません。

この式（定理？）の名前も分からないので、検索してもなかなか見つかりません。
ご存知の方、いらっしゃいましたらお願いします。

回答No.2

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。

#1さんも書かれていますが、定義に戻るのが原則ですね。

行列 Aに対して、その指数関数は
e^A＝Σ[k=0～∞] 1/k!* A^k

となりますね。

Aを T^(-1) A Tと置き換えると、すんなりと示すことができます。
（以下では途中ごちゃごちゃしてしまうので、T^(-1)= Sと表すことにします。）

e^(S A T)
＝ Σ1/k!* (S A T)^k
＝ Σ1/k!* S A^k T （T S＝ T T^(-1)＝ Eを利用）
＝ S { Σ1/k!* A^k } T
＝ S e^A T
＝ T^(-1) e^A T

お礼

なるほど！T T^(-1)＝ Eがこんな風に使われるんですね。
一日中悩んでしまった割りに、一度教えていただくと意外と簡単な証明ですね。

ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

行列 A に対して e^A はどのように定義しているのですか?

お礼

ヒントをありがとうございます。
定義に立ち返るのが重要でしたね。