多様体の向きづけについて

質問

足立正久著「微分位相幾何学」を読もうとしているのです、出だしの向きづけのところで躓いています。
１　ヤコビ行列で定義づけているのですが、これは自然ですか？
２　すべてのi jに対して正か負、は本当に言えるのでしょうか。

具体的に書き下しているものとかあればいいのですが・・・。

回答No.1

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多様体や微分位相幾何は定義の連続に耐え切れず、投げ出しましたが(^^;)。

　次の方法は、プログラムで良く使います(^^)。
　平面上の多角形の頂点が、z軸＋方向から見て左回りに順序付けられているか判定したい時があります。左回りだと色々と便利なので。でこれは、右手系の定義と同等ですよね？。

　多角形の内部に仮原点を取り（じつは本当の原点でもOK）、多角形を仮原点を中心とした三角形に分割し面積を計算して合計します（多角形の面積）。合計が正なら左回り、負なら右回りと判定できます。

　分割三角形の面積は、仮原点を通る辺で三角形を折り返して作った平行四辺形の面積の半分です。平行四辺形の面積は頂点座標の行列式になります。さっきの平面がじつは、ある局面の接平面であり、仮原点を通る三角形の2辺が局所座標の座標軸だとしたら、さっきの行列式はヤコビ行列ですよね？。

　以上、ものすごい低次元の１だけに関する話でした(^^;)。定義は自然だと思います。