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微分積分の問題について
微分積分についての質問です 以下の問題がわかりません。解答よろしくお願いします<(_ _)> 1.u=f(x,y) v=g(x,y)のとき次を示せ。 1)d(u+v) = du+dv 2)d(uv)=v du +u dv 2.1)p（≧3)変数の関数に対して、全微分可能性と全微分を定義せよ。 2)u=x^2+y^2+z^2の全微分duを求めよ。 答えだけでなくその過程もよろしくお願いします！
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すみません．訂正があります． ==================================================== 全微分の定義より， ↓ｄｘ消去して下さい． ◆==================================================== 誤）：dq = ［d{f(x，ｙ)}ｄｘ］ｇ（x，y） + f(ｘ，ｙ)［ｄ{g(ｘ，ｙ)}］ 正）：dq = ［d{f(x，ｙ)}］ｇ（x，y） + f(ｘ，ｙ)［ｄ{g(ｘ，ｙ)}］ ◆==================================================== ｄｑ＝ｄu v + u dv ｄｑ＝ｄ（uv）より， ｄ（uv）= ∴ ｄ（uv）= ｄu v + u dv ．．．（証明終） ==================================================== 若しくは ↓ ｆ（ｘ）の全微分，ｇ（ｘ）の全微分の式を経由させる ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 全微分の定義より， ◆================================================ 追記）： dq = ［d{f(x，ｙ)}ｄｘ＋ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｙ］ｇ（x，y） + f(ｘ，ｙ)［ｄ{g(ｘ，ｙ)}ｄｘ＋ｄ｛ｇ（ｘ，ｙ）｝ｄｙ］ ◆================================================ ＝［d{f(x，ｙ)}］ｇ（x，y） + f(ｘ，ｙ)［ｄ{g(ｘ，ｙ)}］ ｄｑ＝ｄu v + u dv ｄｑ＝ｄ（uv）より， ｄ（uv）= ∴ ｄ（uv）= ｄu v + u dv ．．．（証明終）
１．.u=f(x,y) v=g(x,y)のとき次を示せ。 ---------------------------------------------------- １） d(u+v) = du+dv ２） d(uv)=v du +u dv ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ １） .u=f(x,y) v=g(x,y)のとき， 以下，『d(u+v) = du+dv』であることの証明をする． 点（a，b）の近傍で定義された ２つの２変数関数u=f(x,y)，v=g(x,y)について， ２点（a，b），（a+Δｘ，b+Δｙ） （Δｘ≠０，Δｙ≠０）における関数， ｚ＝u+vとおくと， ｚ＝u+v=f(x,y)+g(x,y)の差Δｚは， Δｚ＝f(a＋Δｘ，b＋Δｙ)+ ｇ(a＋Δｘ，b＋Δｙ) -｛f(a，b)＋ g(a，b)｝ ＝｛ｆ(a＋Δｘ，b＋Δｙ)－f(a，b)｝+ ｇ｛a＋Δｘ，b＋Δｙ) -g(a，b)｝ ｚ＝u+vが（a，b）において，当該証明をするに当たり， 大前提として，偏微分可能であることが必要十分条件となる． （もし，ｚ＝u+vが（a，b）において，偏微分可能でなければ証明不可である） ｚ＝u+vが（a，b）において，ｘ，ｙについて偏微分可能であるならば， （∂/∂ｘ）ｆ(a，ｂ)＝ （Δｘ→０）lim｛ｆ(a＋Δｘ，b)－f(a，b)｝/Δｘ （∂/∂ｙ）ｆ(a，ｂ)＝ （Δｙ→０）lim｛ｆ(a，b＋Δｙ)－f(a，b)｝/Δｙ （∂/∂ｘ）g(a，ｂ)＝ （Δｘ→０）lim｛g(a＋Δｘ，b)－ｇ(a，b)｝/Δｘ （∂/∂ｙ）g(a，ｂ)＝ （Δｙ→０）lim｛g(a，b＋Δｙ)－ｇ(a，b)｝/Δｙ であり，ｘ，ｙについて同時に偏微分可能であるならば， 全微分の定義より， ｄ｛ｆ（a，b）｝ ＝ ｛（Δｘ→０）lim｛ｆ(a＋Δｘ，b)－f(a，b)｝/Δｘ｝Δｘ ＋｛（Δｙ→０）lim｛ｆ(a，b＋Δｙ)－f(a，b)｝/Δｙ｝Δｙ ．．．(1) ＝（∂/∂ｘ）ｆ(a，ｂ)Δｘ＋（∂/∂ｙ）ｆ(a，ｂ)Δｙ ｄ｛ｇ（a，b）｝ ＝｛（Δｘ→０）lim｛ｇ(a＋Δｘ，b)－ｇ(a，b)｝/Δｘ｝Δｘ ＋｛（Δｙ→０）lim｛ｇ(a，b＋Δｙ)－ｇ(a，b)｝/Δｙ｝Δｙ ．．．(2) ＝（∂/∂ｘ）ｇ(a，ｂ)Δｘ＋（∂/∂ｙ）ｇ(a，ｂ)Δｙ である． 全微分の定義より， ｄｚ＝(∂/∂ｘ){f(a，b)+g(a，b)}Δｘ+(∂/∂y){f(a，b)+g(a，b)}Δｙ または， ｄｘ＝１×Δｘ ＋ ０×Δｙ ｄｙ＝０×Δｘ ＋ １×Δｙ であるので， ｄｚ＝(∂/∂ｘ){f(a，b)+g(a，b)}ｄｘ+(∂/∂y){f(a，b)+g(a，b)}ｄｙ とも表せる． ｄｚ＝｛（Δｙ→０）lim｛Δｚ／Δｘ｝Δｘ＋｛（Δｘ→０）lim（Δｚ/Δｙ）｝Δｙ ＝｛（Δｘ→０）lim｛ｆ(a＋Δｘ，b)－f(a，b)｝/Δｘ ＋｛（Δｘ→０）lim｛ｇ(a＋Δｘ，b)－ｇ(a，b)｝/Δｘ｝Δｘ ＋｛（Δｙ→０）lim｛ｆ(a，b＋Δｙ)－f(a，b)｝/Δｙ ＋｛（Δｙ→０）lim｛ｇ(a，b＋Δｙ)－ｇ(a，b)｝/Δｙ｝Δｙ ＝｛（Δｘ→０）lim｛ｆ(a＋Δｘ，b)－f(a，b)｝/Δｘ｝Δｘ ＋｛（Δｙ→０）lim｛ｆ(a，b＋Δｙ)－f(a，b)｝/Δｙ｝Δｙ ＋｛（Δｘ→０）lim｛ｇ(a＋Δｘ，b)－ｇ(a，b)｝/Δｘ｝Δｘ ＋｛（Δｙ→０）lim｛ｇ(a，b＋Δｙ)－ｇ(a，b)｝/Δｙ｝Δｙ (1)，(2)より， ｄｚ＝（∂/∂ｘ）ｆ(a，ｂ)Δｘ＋（∂/∂ｙ）ｆ(a，ｂ)Δｙ ＋（∂/∂ｘ）ｇ(a，ｂ)Δｘ＋（∂/∂ｙ）ｇ(a，ｂ)Δｙ ＝ｄ｛ｆ(a，ｂ)｝＋ｄ｛ｇ(a，ｂ)｝ となる． 点（a，ｂ）を任意の点（x，ｙ）で成り立つとすると， ｄｚ＝ｄu ＋ dv となる． ∴ ｄｚ＝du + dv ．．．（証明終） ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ ２） 次に，u=f(x,y) v=g(x,y)のとき， 『d(uv)=v du +u dv』であることを，以下，証明する． 全微分の定義より， ｄq＝(∂/∂ｘ){f(x，y)g(x，y)}Δｘ+(∂/∂y){f(x，y)g(x，y)}Δｙ または， ｄｘ＝１×Δｘ ＋ ０×Δｙ ｄｙ＝０×Δｘ ＋ １×Δｙ であるので， ｄｑ＝(∂/∂ｘ){f(x，y)g(x，y)}ｄｘ+(∂/∂y){f(x，y)g(x，y)}ｄｙ とも表せる． ２つの２変数関数u=f(x,y)，v=g(x,y)について， 任意の点（ｘ，ｙ）と（ｘ+Δｘ，b+Δｙ） （Δｘ≠０，Δｙ≠０）における関数， ｑ＝uvとおくと， ｑ＝uv=f(x,y)g(x,y)の差Δｑは， Δｑ＝f(ｘ＋Δｘ，ｙ＋Δｙ) ｇ(ｘ＋Δｘ，ｙ＋Δｙ) -｛f(ｘ，b) g(ｘ，ｙ)｝ 全微分の定義より， ｑ＝uvとすると， ｄ（uv）＝ｄ｛ｆ（x，y）ｇ（x，y）｝ ＝(∂/∂ｘ){f(x，y)g(x，y)}Δｘ+(∂/∂y){f(x，y)g(x，y)}Δｙ ＝［(∂/∂ｘ)｛f(x，y)｝g(x，y)］Δｘ + ［(∂/∂ｘ)｛ｇ(x，y)｝f(x，y)］Δｘ + [(∂/∂y){f(x，y)｝g(x，y)]Δｙ ＋［(∂/∂y){ｇ(x，y)｝ｆ(x，y}］Δｙ ＝［(∂/∂ｘ)｛f(x，y)｝g(x，y)］Δｘ + [(∂/∂y){f(x，y)｝g(x，y)]Δｙ + ［(∂/∂ｘ)｛ｇ(x，y)｝f(x，y)］Δｘ＋［(∂/∂y){ｇ(x，y)｝ｆ(x，y}］Δｙ 全微分の定義より， dq = ［d{f(x，ｙ)}ｄｘ］ｇ（x，y） + f(ｘ，ｙ)［ｄ{g(ｘ，ｙ)}］ ｄｑ＝ｄu v + u dv ｄｑ＝ｄ（uv）より， ｄ（uv）= ∴ ｄ（uv）= ｄu v + u dv ．．．（証明終） ==================================================== ２． １） p（≧3)変数の関数に対して、全微分可能性と全微分を定義せよ。 ２） u=x^2+y^2+z^2の全微分duを求めよ。 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ １） 変数ｑ（ｑ≧３）の関数をｆ（ｑ）とおき，これに対して，全微分可能性を調べる． ｄｑ＝（∂/∂ｑ）｛ｆ（ｑ）｝ｑΔｑ 連続である限り， ｑ≧３の任意の点ｐが存在するとする． ｛（Δｑ→０）lim｛ｆ(ｐ＋Δｑ)－f(ｑ)｝/Δｑ ε＝Δｆ（ｐ）－（∂/∂ｑ）｛ｆ（ｐ）｝Δｑとおく． Δｆ（ｐ）＝ｆ（ｐ＋Δｑ）－（∂/∂ｑ）｛ｆ（ｐ）｝ｑΔｑ－ｆ（ｑ） 平均値の定理より， Δｆ（ｐ）＝（∂/∂ｑ）｛ｆ（ｐ＋θΔｑ）｝Δｑ をみたすθ（０＜θ＜１）が存在する． ε＝（∂/∂ｑ）｛ｆ（ｐ＋θΔｑ）｝Δｑ－（∂/∂ｑ）｛ｆ（ｐ）｝Δｑ ＝[（∂/∂ｑ）｛ｆ（ｐ＋θΔｑ）｝－（∂/∂ｑ）｛ｆ（ｐ）｝]Δｑ （ε/Δｑ）＝（∂/∂ｑ）｛ｆ（ｐ＋θΔｑ）｝－（∂/∂ｑ）｛ｆ（ｐ）｝ 偏導関数（∂/∂ｑ）｛ｆ（ｐ）｝は，ｑ＝ｐにおいて連続であるから， 右辺の項，すなわち， （∂/∂ｑ）｛ｆ（ｐ＋θΔｑ）｝－（∂/∂ｑ）｛ｆ（ｐ）｝は， ｜Δｑ｜→０のとき，収束して，０になる． ゆえに， ε＝ο｜Δｑ｜ （ο：無限小 O-記法 ランダウの記号） （上の括弧内は書く必要ありません．０とοは違うということを言いたかっただけです．） （http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%81%8F%E5%BE%AE%E5%88%86） ο｜Δｑ｜＝Δｆ（ｐ）－（∂/∂ｑ）｛ｆ（ｐ）｝Δｑ つまり， Δｐ＝（∂/∂ｑ）｛ｆ（ｐ）｝Δｑ ＋ο｜Δｑ｜ となり， ｑが３以上の任意のｐにおいて，ｆ（ｑ）（ｑ≧３）は， ｑ＝ｐ（ｐ≧３）において全微分可能である． ．．．（証明終） ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 【蛇足】 つまり， ｄ｛ｆ（ｑ）｝＝（∂/∂ｑ）｛ｆ（ｑ）｝ｄｑ （ｑ≧３） と，全微分可能である． ==================================================== ２） du = 2xdx + 2ydy + 2zdz ==================================================== テキストを，じっくり読み込んで理解して下さい． 努力すれば，解けます！ 頑張ってください＾＾
