「99.9％の確率で陽性」

質問

ゆうべたまたまＮＨＫの「ハードナッツ」というドラマを見ました。
ある刑事（高良健吾）が「99.9％の確率で」、ある病気（仮に「xdr5」）だと診断された。
xdr5陽性の人は１万人に１人。その１人は100％死ぬ。
「オレは99.9％の確率で死ぬ。再検査？　意味ねえだろ、99.9％だぜ」と、
健吾は絶望する。が、天才数学ガール（橋本愛）が言うのです。
「それ、計算間違ってますよ。再検査した方がいいですよ」

僕にはいまいち理解できなかったのですが、ええと、たぶん、

１）診断の精度が100％であれば、陽性判定が出るのは１万人に１人。
２）実際の検査の精度は99.9％なので、１万人検査すると陽性判定が10人出る。
３）その10人のうち、本当に陽性なのは１人だけ。
４）つまり、健吾さんが陽性である確率は99.9％ではなく、10％。

・・・という感じ。この理屈は、正しいですか？
「精度100％なら１万人に１人。実際は99.9％なので、１万人あたり10人」
というのは、式にすると「１万 × 0.001 ×１＝ 10」でしょうか。
だとすると、以下の理屈も正しいのでしょうか。

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人類の10人に１人が「cft６」という病に罹っています。
波平は、99.9％の確率でcft６だと診断されました。
診断の精度が100％であれば、陽性判定が出るのは１万人あたり1000人のはずです。
実際の検査の精度は99.9％なので、１万人検査すると陽性判定が１万人出ます。
つまり全員。つまりこの検査は全く無意味。
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99.9％もの精度の検査が「全く無意味」というのは、
直観的には納得しにくいのですが。

回答No.11

中村 拓男（@tknakamuri）

＞陽性的中率と正診率の違いを池上彰ふうに（私が）解説できたらよいのですが。

陽性的中率の定義は 陽性で疾病ありの数/陽性の数
つまり陽性の信頼性を表します。

あなたに陽性反応が出ていて、陽性的中率が90%なら、
あなたは90%の確率でその疾病にかかっています。

正診率の定義は (陽性で疾病ありの数+陰性で疾病なしの数)/検査数
つまり、検査結果の信頼性を表します。

100個の検査を行い、検査結果が 80個当たっていたら正診率は80%です。

100個の検査を行い、
陽性で疾病ありが3個、
陽性で疾病なしが2個
陰性で疾病ありが1個
陰性で疾病なしが94個

とすると

陽性的中率 60%
正診率 97%

正診率は陰性側でも点数を稼ぐので、陰性側の成績がよくて、疾病ありが少ないと
陽性的中率は低くとも正診率は高くなります。

お礼

陽性的中率＝陽性で疾病ありの数/陽性の数
正診率＝ (陽性で疾病ありの数+陰性で疾病ナシの数)/検査数
特異度＝陰性で疾病ナシの数/疾病ナシの数
感度＝陽性で疾病ありの数/病気の人の数

100個の検査を行い、
陽性で疾病ありが3個、
陽性で疾病なしが2個
陰性で疾病ありが1個
陰性で疾病なしが94個
とすると
陽性的中率 60％
正診率 97％
特異度 97.9％
感度 75％

10000個の検査を行い、
陽性で疾病ありが1個、
陽性で疾病なしが1個
陰性で疾病ありが0個
陰性で疾病なしが9998個
とすると
陽性的中率 50％
正診率 99.99％
特異度 99.9899％
感度 100％

なるほど。
「あなたに陽性反応が出ました。検査の精度は97％」と言われた場合、
まあふつうは陽性的中率97%という意味であろう。が、
もしかしたら正診率（あるいは特異度）97%という意味かも知れず、
だとしたら疾患アリの可能性は97より低いであろう、
特に「１万人に１人」というようなレアな疾患の場合は大幅に低いはず。
好意的に解釈すれば数学ガールはそのことを指摘してるのだろう、
ということですね。ありがとうございました。

回答No.10

中村 拓男（@tknakamuri）

>「陽性判定が出るのは１万人に１人」ですから、１０００万人が
>その検査を受けたら、１０００人が陽性と出る確率が９９．９％
>ということです。

原作を確認してみましたが、検査精度 99.9% となっているだけで、
確率が 99.9% とは言ってないですね。

正診率=(陽性で疾患ありの数 + 陰性で疾患なしの数)/検査総数　かも。

とすれば、まあ、陽性的中率は 10%程度です。

お礼

ええと、　私は「陽性の人は100％発症するという前提」、と書いたのですが、
常識的にはそんな前提（言葉遣い）はおかしくて、
陽性判定されてもある確率で疾患ナシの可能性があるし、
陰性判定されてもある確率で疾患アリの可能性がある、
つまりそれが検査精度。……ということでしょうか。

だとしたら「陽性の人は100％発症するという前提」は取り下げます。

で、その上で、
検査精度99.9％というのが、もし正診率99.9％という意味なら、
陽性的中率は10%程度、ということでしょうか。

私の残念な脳味噌ではいまのところ正診率の定義というか、
「(陽性で疾患ありの数 + 陰性で疾患なしの数)/検査総数」
というのを直観的に把握できてません。

陽性的中率と正診率の違いを池上彰ふうに（私が）解説できたらよいのですが。

回答No.9

tengenseki

＞「99.9％の確率で」、ある病気（仮に「xdr5」）だと診断された。

その刑事にその診断方法を莫大な回数行えば。平均的に
１０００回中９９９回陽性と出ます。

＞１）診断の精度が100％であれば、陽性判定が出るのは１万人
　　に１人。

「陽性判定が出るのは１万人に１人」と統計的に確立されている
のなら、その確立を導いた診断の精度が100％でなく95％でも
かまいません。

＞２）実際の検査の精度は99.9％なので、１万人検査すると陽性
　　判定が10人出る。

「陽性判定が出るのは１万人に１人」ですから、１０００万人が
その検査を受けたら、１０００人が陽性と出る確率が９９．９％
ということです。一回目の陽性が１００１人、２回目が９９９人とか。

＞天才数学ガール（橋本愛）が言うのです。
＞「それ、計算間違ってますよ。再検査した方がいいですよ」

刑事は何も計算していません。診断精度が９９．９％の検査で
陽性だと言われただけです。
「計算間違ってますよ」と天才が言うからには、あなたのドラマの
説明に不足はありませんか。

上記説明でお分かりになったと思いますので、波平に関しては
回答省略します。

お礼

怪しい理解力に基づくうろ覚えで書いてますので、
私のドラマの説明にはいろんな不足があると思います。

回答No.8

中村 拓男（@tknakamuri）

>その逆である健常者を見誤る確率はその排反とします。

この仮定は検査では成り立ちませんので、
陽性的中率は番組の2っの数字だけからは
正確には計算できません。

回答No.7

kamiyasiro

この質問、昨年の10月27日にBSで放送された直後にも出ましたね。

数学ガールの説明した「難病の罹患率」は、ベイズの問題です。
事前分布は、罹患している確率で、１万人に一人の確率です。
誤判定の確率(1)罹患を正しく発見できる確率は番組中から99.9％ですので、
(2)その逆である健常者を見誤る確率はその排反とします。

周辺確率＝事前分布×条件付き確率（ここでは陽性判定される確率）
事後確率＝周辺確率÷周辺確率の合計

状態＿＿事前分布＿＿陽性判定される確率＿＿周辺確率＿＿＿＿事後確率
健常＿＿0.9999＿＿＿＿＿＿0.001＿＿＿＿0.0009999＿＿＿＿0.90917
罹患＿＿0.0001＿＿＿＿＿＿0.999＿＿＿＿0.0000999＿＿＿＿0.09083
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿周辺確率の合計＿0.0010998

正解は、状態が罹患のときの事後確率ですから、
「あなたが罹患している確率は、9.08％しかない」であり、
くるみの言う10％というのは当たらずとも遠からずですが、数学ガールとしては失格。

10人に一人の場合は、事前分布を変更するだけです。
罹患率は１万人にひとりですが、検査を受けたのは１万人全てではないはずです。
そこで、ご質問者のように
『症状が疑われ検査を受けた人10人のうち、1人が罹患している』としてみましょう。

状態＿＿事前分布＿＿陽性判定される確率＿＿周辺確率＿＿＿＿事後確率
健康＿＿＿0.9＿＿＿＿＿＿0.001＿＿＿＿＿＿0.0009＿＿＿＿0.00893
罹患＿＿＿0.1＿＿＿＿＿＿0.999＿＿＿＿＿＿0.0999＿＿＿＿0.99107
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿周辺確率の合計＿0.1008

すると、患者が罹患している可能性は99.1％となります。
いやはや、この罹患率は悲観すべき値です。でもこれが真の姿です。
数学ガールは優しさで嘘を付いたのでしょうか。だとしたら可愛いです。。。

たぶん、脚本家が無知なだけと思います。

回答No.6

中村 拓男（@tknakamuri）

ctf6ですが(^^;

特異度=99.9%、感度=99.9% で1万人を
検査すると、真の病人数は千だから

X=陽性で病気
y=陽性で病気ではない
z=陰性で病気
v=陰性で病気ではない

とすると

×+Z=1000
y+V=9000
x/(X十z)=0.999
v/(y+v)=0.999

これを解くと

X=999
y=9
z=1
v=8991

陽生的中率はx/(×+y)=0.991

つまり病気の人の割合が大きいときは陽性的中率が格段に上ります。

回答No.5

中村 拓男（@tknakamuri）

＞1000人に一人の割合を、検査によって10人に一人までしぼり込んだということ。

すいませんタイポです。1000人-> 1万人

回答No.4

中村 拓男（@tknakamuri）

前にも出た話題ですが、「精度」の意味があいまいです。

精度=特異度のことなら、大体正しいです。

特異度=検査に陰性で病気でない人の数/病気でない人の数
感度=検査に陽性で病気の人の数/病気の人の数。

つまり1000人に一人の割合を、検査によって10人に一人までしぼり込んだということ。
＃正確には確率はおよそ10%です。

精度=陽性的中率=検査に陽性で病気の人の数/検査に陽性の人の数

が 99.9% なら、再検査してもほぼ無意味でしょう。

私が医療現場で直接確認した限りでは(といっても医者一人ですが・・・)
医者が患者に言う検査精度=陽性適中率(PPV)なので、間違いということになります。

いずれにしてもあいまいです。

お礼

回答ありがとうございます。
もしかすると「そこを曖昧にしたこと」こそが
ドラマ作者の狙いなのかも知れませんが、
いずれにせよ常識的な解釈では、…………

…………あ、いや、違うか。

常識的かどうかは断言できないが、
回答者さんの経験の範囲では、医者が患者に言う検査精度とは
陽性適中率のことであり、陽性適中率のことだとすれば
天才数学ガールの理論は間違い、ということですね。
勉強になりました。

回答No.3

Tacosan

いちおうかくにん.

「99,9 % の確率」とか「精度 99.9 %」とかいうのは
・陽性の人に対して「陽性」と出るのが 99.9 %
・陰性の人に対して「陰性」と出るのが 99.9 %
の両方である, ということでいいですか?

お礼

そうそう、そこもモヤモヤしてるんですねー。
つまり「陰性なのに陽性判定される」場合のみ問題にして
「陽性なのに見逃される」方を無視してるんじゃないか、という。
脚本書いた人はたぶん「１万人に１人という設定にしとけば
事実上無視していいだろ」的な考えなんじゃないでしょうか。

私が数学に弱いことはこの質問を読めばわかると思うので、
恐縮ですが細かい点は数学に強い回答者さんにお任せでお願いします。

回答No.2

DJ-Potato

99.9%の確率で陽性ということは、一次検査で陽性の人の99.9%は二次検査で陽性という意味だと思います。

スクリーニングと精密検査の問題では、感度と特異度という問題があり、普通に精度と言った時にどっちを指しているのか微妙ですが。

天才数学ガールが間違っているような…

お礼

回答ありがとうございます。なるほど。言われてみると私の中には「橋本愛ほどの怜悧な美少女が言うんだから正しいはず」という思い込みあるいは願望があったような気がします。問題は「ある検査の精度が○○％である、というのはどういう意味か」ですね。