確率解析等

質問

解き方を教えてください

ある村において全体の0.05%の住民が病気Dにかかっていることが知られている。いま、病気Dについて新しい診断法が開発された。この診断法を用いると、病気Dにかかっている人に対しては99.8%の確率で正しく検出され、病気Dにかかっていない人に対しては0.3%の確率で誤って検出されることがわかっている。この村の住民をランダムに1人選んで、この診断法により検査したところ病気Dが検出された。この住人が実際に病気Dにかかっている確率を求めよ。

回答No.3

yyssaa

＞
事象A1：病気Dにかかっている
事象A2：病気Dにかかっていない
とすると、全事象はA1+A2
事象B：病気Dにかかっていると診断される
aを前提としてbが生じる条件付確率をP(b|a)と書くと
P(B|A1)=0.998、P(B|A2)=0.003であり、
P(A1)=0.0005、P(A2)=0.9995だから、
事象Bが生じたときに事象A1である確率P(A1|B)は
ベイズの定理により、
P(A1|B)=P(A1)*P(B|A1)/{P(A1)*P(B|A1)+P(A2)*P(B|A2)}
=0.0005*0.998/(0.0005*0.998+0.9995*0.003)≒0.143
確率を%で書くなら約14.3%・・・答

回答No.2

noname#215361

ANo.1の補足・訂正です。

質問でもそうですが、『住民』と『住人』が混在しているので、どちらかに統一しましょう。

考えられる事象は、次の4つです。
(1)病気Dにかかっている人が正しく検出される→病気Dが検出される
(2)病気Dにかかっている人が誤って検出される→病気Dは検出されない
(3)病気Dにかかっていない人が正しく検出される→病気Dは検出されない
(4)病気Dにかかっていない人が誤って検出される→病気Dが検出される
そして、病気Dが検出されたという結果があるので、(1)と(4)の事象だけを捉えればいいことになります。
なお、(1)の確率+(2)の確率+(3)の確率+(4)の確率=1になります。

回答No.1

noname#215361

病気Dにかかっている住人が、正しく検出されるとこの割合は全体の、
0.05*0.998=0.0499％
病気Dにかかっていない住人が、誤って検出されるとこの割合は全体の、
（100-0.05）*0.003=99.95*0.003=0.29985％
この村の住民をランダムに1人選んで、この診断法により検査したところ病気Dが検出されたので（結果が確定したので）、ベイズの定理により結果だけをとらえ、これらの割合から考えればいい
よって、病気Dが検出された住人が実際に病気Dにかかっている確率は、
0.0499/（0.0499+0.29985）=0.0499/0.34975≒0.143（14.3％）