条件付き確率の問題

質問

次の問題について解答を自分なりに考えたのですが、合っているか
自信がありません。できれば添削や訂正をお願いします。

問、ある地域で、病気Xに感染している人の割合は0.01%である。
　　この病気Xの定期検査で、Xに感染している人は99%の確率で
　　「陽性」と判定される。ただし、この検査ではXに感染して
　　いない人も1%の確率で「陽性」と判定されてしまう。

　(1)ある人がこの検査を受けたところ、「陽性」と判定された。
　　 この人が本当に病気Xに感染している確率を求めよ。
　(2)この人が再検査を受け、再び「陽性」と判定された。
　　 この人が本当に病気Xに感染している確率を求めよ。

答、(1)「陽性」と判定される確率：99/10000 + 99/10000 =198/10000
　　　「陽性」かつ感染している確率：99/10000
　　 求める確率：99/10000 ÷ 198/10000 = 1/2 (50％)

　　(2)再び「陽性」と判定される確率：99/10000
　　　「陽性」かつ感染している確率：(198/10000 × 1/2)×99/100
　　　　　 　　　　　 =(99×99)/1000000
　　　 求める確率：(99×99)/1000000 ÷ 99/10000 = 99/100 (99%)

回答No.1

barao · ベストアンサー

まず計算で解いてみます。
Xに感染かつ陽性の確率＝0.01/100×99/100＝0.99/10000
Xに感染してないが陽性の確率＝99.99/100×1/100＝99.99/10000
ですよね？だから
(陽性と判定される確率)＝(Xに感染かつ陽性の確率)＋(Xに感染してないが陽性の確率)
＝0.99/10000＋99.99/10000＝100.98/10000
したがって、
(陽性と判定された人が本当にXの確率)＝(Xに感染かつ陽性の確率)÷(陽性と判定される確率)
＝0.99/10000÷100.98/10000＝0.99/100.98
じゃないでしょうか？

次に実際に数を数えてみます。
ある地域の総人口を1000000人として全ての場合の数を書き下してみると、
Xかつ陽性は99人、Xではないが陽性は9999人となるから、陽性の人は全部で10098人である。
このうち本当にXの人は99人なので、
陽性と診断された人が本当にXに感染している確率は99/10098となる。

たしかに計算結果と一致します。
質問者様は、陽性と判定される確率および、陽性かつ感染している確率を間違っているのだと思います。

(2)については同じ手順を踏めば解けそうな気がしますが、
長くなりそうなので省略します。

最後に、長々と書きましたが、自信ありません…。
参考までに。

お礼

すみません。補足の質問は、無しにしてください、というか、
勘違いしていました。
最初から、ちゃんと計算したら、陽性と判定される確率および、陽性かつ感染している確率の計算を間違っていました。
ごめんなさい。
お騒がせしました。

補足

返事が遅くなりました。
回答ありがとうございます。

質問があります。
回答の2行目で、Xに感染かつ陽性の確率＝0.01/100×99/100
とありますが、なぜ0.01/100で計算するのですか？
すみませんが、教えてください。

回答No.4

coffeebar

ANo.2です。すいません、どうも私間違っていたみたいです。

ANo.1さん式で解いてみました。

人口が1億人とすると
感染者：1万人、この内2回連続で陽性反応が出る人：9,801人
非感染者：9,999万人、この内2回連続で陽性反応が出る人：9,999人

ということで1億人を検査して、2回連続で陽性反応が出る人は19,800人
この内感染者は9,801人だから、9,801/19,800=0.495

49.5％しかないんですね。検査で2回引っかかったら、間違いなく感染していると思ってしまいそうですが、実は半分以上が未感染。面白い問題でした。

私はもともとの（感染者/非感染者）の割合を確率の考慮に入れなかったから間違ったみたいです。

回答No.3

noname#47975

感染している確率：Ｐ
感染していない確率：１－Ｐ
感染者が検査で陽性と判定される確率：Ｑ
非感染者が検査で陽性と判定される確率：Ｒ

ｎ回の検査で陽性と判定された者が、本当に感染している確率

Ｐ１：感染者であり、かつｎ回とも陽性と判定される確率

Ｐ×Ｑ＾ｎ

Ｐ２：非感染者であり、かつｎ回とも陽性と判定される確率

（１－Ｐ）×Ｒ＾ｎ

よって、求めるべき確率式はＰ１／（Ｐ１＋Ｐ２）である事から、

（Ｐ×Ｑ＾ｎ）／（Ｐ×Ｑ＾ｎ＋（１－Ｐ）×Ｒ＾ｎ）

回答No.2

coffeebar

(2)は比較的簡単じゃないですか？

2回連続で「陽性」と判定される人が本当は感染していない確率＝1/10,000
だから2回連続で「陽性」と判定される人が、感染している確率＝99.99%