確率

質問

ある学生がストレス過多であるかどうかを判定するための新しいテストが開発されました。このテストは、学生がオーバーストレスでない場合は95％の精度がありますが、学生が実際にオーバーストレスである場合は85％の精度しかありません。すべての学生の99.5％がストレス過多であることが知られています。ある学生がストレス検査で陰性であった場合、検査結果が間違っていて、この学生が実際にはストレス過多である確率は何％か？

解答が手元にないので回答解説していただけたら幸いです

回答No.2

pfarm

この問題にはベイズの定理を使うことができます。

まず、問題文から以下の情報を得ることができます:

学生がストレス過多である確率は99.5%である
テストは、学生がオーバーストレスでない場合は95％の精度があり、学生が実際にオーバーストレスである場合は85％の精度しかない。
ここで、次のようにイベントを定義します。

S: 学生がストレス過多である
T: テストが陰性である（つまり、学生がストレス過多でないと判断された）
そして、求めるのは、テストが陰性であった場合に、学生が実際にストレス過多である確率であり、P(S|T)を求めることになります。

ベイズの定理により、次の式が成り立ちます。

P(S|T) = P(T|S) * P(S) / P(T)

ここで、分母のP(T)は、全体の確率であり、次のように求めることができます。

P(T) = P(T|S') * P(S') + P(T|S) * P(S)

ここで、S'は学生がストレス過多でないことを表し、P(S')は0.005であるため、P(S) = 0.995です。

また、P(T|S')は、学生がストレス過多でない場合にテストが陰性である確率であり、95%の精度があるため、0.95となります。同様に、P(T|S)は、学生がストレス過多である場合にテストが陰性である確率であり、85%の精度があるため、0.15となります。

これらの値を代入して計算すると、P(T) = 0.0050.95 + 0.9950.15 = 0.1545となります。

つまり、テストが陰性であった場合に、学生が実際にストレス過多である確率P(S|T)は、次のように求めることができます。

P(S|T) = P(T|S) * P(S) / P(T) = 0.15 * 0.995 / 0.1545 ≈ 0.965

よって、この学生が実際にはストレス過多である確率は、約96.5％であると推定されます。

回答No.1

f272

100000人がいるとしたら
1. ストレス過多である99500人
2. ストレス過多でない500人
に分けられ、ストレス検査で陰性になるのは
1.のときは99500*(1-0.85)=14925人
2.のときは500*0.95=475人
合計15400人です。このうち検査結果が間違っていてストレス過多である人は14925人ですから、その確率は14925/15400=約97％