変曲点の求め方が分かりません

質問

「y^3=a^3(1-x)^5の変曲点を求めよ．」という問題が分かりません．
まずy=a(1-x)^(5/3)と変形しました．
1度微分してy'=-5a(1-x)^(2/3)/3を得ました．
もう1度微分してy''=10a(1-x)^(-1/3)/9つまりy''=10a/{9(1-x)^(1/3)}を得ました．
y''=0となるxは存在しないので変曲点は存在しないかと思ったのですが，解答には(1,0)とあります．
解答が正しいなら，x=1のときy''の分母が0になってしまう気がします．解答は正しいですか？
また，y=a(1-x)^(5/3)という変形は間違っているのですか？
（y^n=～という式の微分はこの方法であっているのですか？）

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

y^3=a^3(1-x)^5 …(1)
y=a(1-x)^(5/3) …(2)
y'=-(5a/3)(1-x)^(2/3) …(3)

y'=0とするxは x=1
x=1で、(1)または(2)から　y=0
点(x,y)=(1,0)は変曲点候補。
この点(1,0)で(1)は連続。

y''=(10a/9)/(1-x)^(1/3)=f(x)
点(1,0)の前後でy''の符号を調べると
小さな正の任意の実数ε>0に対して
f(1-ε)f(1+ε)=-(10a/9)^2/(ε^2)^(1/3)<0
したがって、x=1の前後でy''の符号が変わり、かつ
点(1,0)で与えられた曲線(1)（または(2))が連続なので
点(1,0)は与えられた曲線の変曲点である。//

お礼

ありがとうございます．
分母を1にしないために極微小な数値εを使えばよかったのですね．
たしかに変曲点の前後で符号が変わります．
これからもよろしくお願いします．

回答No.2

R_Earl

ANo.1ですが、訂正です。

> 「d^2y/dx^2 = ∞(つまりy'' = ∞)となる点」は90°回転させると
> 「d^2x/dy^2 = 0の点」に変化する、

考えてみたら、 d^2y/dx^2 = ∞となる点は、90°回転させなくても
d^2x/dy^2 = 0となりますね。

お礼

ありがとうございます．
逆関数を考えたときにd^2x/dy^2が0になるので，d^2y/dx^2は∞でもいいのですね．
これからもよろしくお願いします．

回答No.1

R_Earl

> y''=0となるxは存在しないので変曲点は存在しないかと思ったのですが，解答には(1,0)とあります．

y'' = ∞(言い方が適切ではないかもしれませんが…)となる点でも
変曲点を取ることがあります。
これに関しては実際にグラフを描いてみないと分からないかもしれません。

紙にy^3 = a^3(1-x)^5のグラフを描いてみて下さい
(大体で良いです。xに-2, -1, 0, 1, 2, …と整数を代入し、
対応するyの値を求めてプロットするという方法でよいです)。
その後、紙を90°回転させてください。
そうするとy'' = ∞でも変曲点を取れる理由がわかると思います。

「d^2y/dx^2 = ∞(つまりy'' = ∞)となる点」は90°回転させると
「d^2x/dy^2 = 0の点」に変化する、
と言えば分かるでしょうか…。
上手い説明方法が思いつきません…。