大学数学（マクローリン展開）の問題です。

質問

log(4-9x^2)のマクローリン展開をx^8の項まで求めよという問題がわかりません。
できる限り細かく途中式や使う公式などを書いていただけると幸いです。
ぜひともご回答お待ちしています。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

logを自然対数（底がネイピア数e）とします。

log(4-9x^2)=log(4(1-((3/2)x)^2))
=log(4)+log(1-((3/2)x)^2)
=log(4)+log(1-t), t=((3/2)x)^2
と考えて
log(1-t)のtについて4次までのマクローリン展開を求めます。
この位のマクローリン展開はできますね。
展開を求めると
log(1-t)=-t-(1/2)t^2 -(1/3)t^3 -(1/4)t^4 + ...

次に t=((3/2)x)^2を代入して
log(1-((3/2)x)^2)
=-((3/2)x)^2-(1/2)(3/2)^4*x^4 -(1/3)(3/2)^6*x^6
-(1/4)(3/2)^8*x^8 + ...
=-(9/4)x^2 -(81/32)x^4 -(243/64)x^6 -(6561/1024)x^8 + ... …(※)

log(4-9x^2)=log(4(1-((3/2)x)^2))
=log(4)+log(1-((3/2)x)^2)
(※)を代入すれば
=log(4)+-(9/4)x^2 -(81/32)x^4 -(243/64)x^6 -(6561/1024)x^8 + ...

これが求めるxの８次までのマクローリン展開です。

お礼

ご丁寧な回答ありがとうございました!!
また機会がありましたらよろしくお願いします!!