(1+√3i)^n が実数となるようなnの値？

質問

【 (1+√3i)^n 　が実数となるようなnの値を求めよ 】　という問題で、

ｒ＝２　で、
θ＝π/3　だから、

★　１＋√3^n = 2^n (cos　nπ/3　+　i sin nπ/3)　　・・・と変形されています。

これを英語で、modulus argument formと解説があるのですが、

一体ここでは、何をしているのでしょうか？

「複素数の極形式」に直すという方法については勉強したのですが、ここではそういう話でもないようです。

よろしくお願いいたします。

回答No.2

gomagoma427 · ベストアンサー

ド・モアブルの定理と呼ばれるものです。
インターネットが使えるのでしたらウィキペディアに記事がありますのでご一読なされれば大丈夫かと思います。

要点をかいつまんで言えば、

１＋√3i　をまずは角度と長さで表します。極形式というのでしたでしょうか。私はあまりもう名前までは覚えていませんので・・・。
つまりは複素数平面上で　１＋√3i　を考えますと、実軸上の長さが正の方向に１で、虚軸の正の方向に√３　です。これは三角関数で言えばｘ軸の正方向に１、ｙ軸の正方向に√３ですので、角度がπ/3とわかります。
ついでに原点から１＋√3iまで引いた線分の長さは、ピタゴラスの定理でもわかりますし、よくある直角三角形の比でも２とわかります。

三角関数自体が円の座標を表すために作られたものですので、
ｘ＝２cos(π/3)
y = 2cos(π/3)
となります。

これを複素数平面に戻して考えれば、

１＋√3i　＝　２（cos(π/3) + i sin(π/3))

ということになります。しがたって両辺ｎ乗して

（１＋√3i）　＝　２^n （cos(π/3) + i sin(π/3))^n

という形になります。ここで右辺は

１＋√3i　の　長さである　２　をｎ乗したものと
１＋√3i　の　角度を表している　（cos(π/3) + i sin(π/3))　をｎ乗したもの

の積になっています。
前者はつまりは長さが倍々に増えて行くというものです。仮に長さが３だった場合は3倍3倍に増えていきます。
後者は角度がπ/3の回転を表しているので、π/3ごとの回転をｎ回させることになります。
したがって結果　ｎπ/3　の回転をさせていることになります。
これを厳密に証明するのがド・モアブルの定理です。

（cos(θ) + i sin(θ))^n　＝　cos(nθ）＋i sin(ｎθ）

今回の問題では　sin(ｎπ/3)＝０となれば虚数部分は消えて実数となりますので、答えとしては

n = 3k , k は整数

になるかと思います。

お礼

とても良くわかりました。

ご回答、どうもありがとうございました！

回答No.5

info222_

>複素数の極形式」に直すという方法については勉強したのですが

極形式と「絶対値と偏角の形式(modulus argument form)」とは同じことの別表現です。

>★　(１＋√3)^n = 2^n (cos　nπ/3　+　i sin nπ/3)　　・・・と変形されています。
>一体ここでは、何をしているのでしょうか？

極形式に直して
　(１＋√3)^n=(2^n)e^(i n tan^(√3/1))=(2^n) e^(i nπ/3)
オイラーの公式（オイラーの等式ともいう）
　e^(ix)=cos(x)+i sin(x)
を適用しているだけ。
この変形により
(１＋√3)^n　を実数部と虚数部に分けているのです。

引き続き、「実数となる条件」として
「虚数部=0」すなわち「sin(nπ/3)=0」を
導びき出そうとしているのです。

　sin(nπ/3)=0
を解けば
　nπ/3=kπ　（kは任意の整数）
　∴　n=3k （kは任意の整数）　　←　(答)になります。
　（つまり　n=0,±3,±6,±9,±12, …）
が得られます。

お礼

すごくわかりやすいご説明をありがとうございました。

オイラーの公式を一度勉強したのですが、まだ　こういうところで出てきませんでした。

すっきりしました。

ご回答、どうもありがとうございました！

回答No.4

gomagoma427

すみません、No２ですが、途中

y = 2sin (π/3)

と書くべきところを間違えてcosにしてしまいました。訂正です。

お礼

了解です。

ご丁寧に、ありがとうございます！

回答No.3

myuki1232

"modulus-argument form" は日本語で言う「（複素数の）極形式」の意味で、"polar form" の別の言い方です。
ここでは z = r (cos θ + i sin θ) の形にすることを言っています。
ちなみに modulus: 絶対値、argument: 偏角 です。

お礼

modulus argument formを、インターネットで調べても、どうしても日本語が出てこなかったので、助かりました！

ご回答、どうもありがとうございました！

回答No.1

angkor_h

表題について、
√3i が、(√3)*i(虚数) を示しているのであれば、
(1+√3i)^n =(a+b)^n と於いて、このとき b=i(虚数)として、n=1以上の正数とすれば、(a+b)^n に於いて、b^(奇数)の係数、すなわち虚数項が必ず残ります。
よって、bを虚数とした時の、(a+b)^nが実数となる場合は存在しません。
「複素数の極形式」に直しても「i」成分は消えない、と言うことになります。

外していたらごめんなさい。

####
> ｒ＝２　で、θ＝π/3　だから、
これは、閲覧者が推定し得ないところの、特殊条件下ですよね。
また、ご質問初頭の「 (1+√3i)^n 」と、「★　１＋√3^n」とは式が違いますね。？？

お礼

ご質問初頭の「 (1+√3i)^n 」と、「★　１＋√3^n」とは式が違いますね。？？

　　→　ここは、解説が間違えているのか、それとも、このように変化するものなのかについて、迷っていました。　やはり、問題の間違えだと考えて良さそうですね・・・。

ご回答、どうもありがとうございました！