行列の固有値と固有空間

質問

R＝　cosθ　　－sinθ
　　sinθ　　　cosθ　

の行列の固有値、固有空間を求める問題なのですが、（θは実数）
複素数の範囲で考えるといわれたので、とりあえず、固有値を求めたら、λ＝cosθ±isinθ　となりました。
このあとをどうしていいのかわからないんです。
本で調べてみたら、sinθ＝０のとき、固有空間は全空間。
sinθ≠０のとき、・・・は、理解できなくてわからなかったのですが、
どうしてこういう場合わけをして、こうなるのかわかりません。
よかったら教えてください。

回答No.2

tinantum · ベストアンサー

>とりあえず、固有値を求めたら、λ＝cosθ±isinθ　となりました。

(1) sinθ=0と (2) sinθ≠0の場合分けで固有値が
(1) λ＝cosθ （縮退していて，固有値が一つだけ）
(2) λ+＝cosθ+isinθ と λ_＝cosθ-isinθという二つの相異なる固有値が存在する
という場合わけになりますね．

固有空間はそれぞれの異なる固有値に対して定まる空間ですから，(1)の場合は，一つの固有値λ＝cosθに対する固有空間を求めればよいわけです．で，これが全空間になります（実際(1)の場合に，任意のベクトルが固有ベクトルになってることは簡単に確認できるでしょう）．

(2)の場合は，固有値が二つありますので，それぞれの固有空間を求める必要があります．

回答No.1

koko_u_

>このあとをどうしていいのかわからないんです。
そのまま何も考えずに固有空間を求めればよいです。
その過程で自然と場合分けが必要なことがわかります。