数学の問題で。。。0＜θ<90 Sin2θ=cos3θのとき、θの値を

質問

数学の問題で。。。0＜θ<90 Sin2θ=cos3θのとき、θの値を求めよ
という問題があったのですが、回答を読んでもわかりません。

(1)0<θ<90から0<2θ<180
→これはわかります。

(2)よって、sin2θ>0 ゆえに cos3θ>0
→これも理解できます。 Sin2θ=cos3θだから、Sin2θが０より上なら
cos3θもってことですよね？

(3)0<3θ<270, cos3θ>0 から 0<3θ<90
→これは、本当は３θは０～２７０度までだけど、
cos3θ>0だから3θの値は0<3θ<90ってことですよね？

(4)よって0<2θ<60, 0<90-3θ<90
→ここがわかりません。なんでよって0<2θ<60なんですか？
60ってどこからでてきたんでしょう？？？
0<90-3θ<90もなんで、こんな式をしているのか理解できません。

(5)sin2θ=cos3θ を変形すると sin2θ=sin(90-3θ)
ゆえに、2θ=90-3θ θ=18
→そもそも、(1)～(4)までの計算って必要だったんでしょうか？
Sin(90-θ)＝cosθになるって公式がわかれば、(1)～(4)までの
ことって不要で、いきなり、cos3θをsin(90-3θ)に変形させれば
いいんじゃないんでしょうか？θじゃなくて3θだから、大きさの確認をしたって
ことですか？
特に(4)がわかりません。ご助言のほどよろしくお願いします

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

こういう問題はグラフの概形を描いてθを求めると間違いがないですね。

グラフから 0<θ<90°では

y=sin2θとy=cos3θ

が交点を持つのは１つだけであり、かつその交点のθは　0°＜θ＜30°であることが
明らかなのでそのθに対して

sin(2θ)=cos(3θ)=sin(90°-3θ)
を満たすのは
2θ=90°-3θ
の場合しか存在しないといえる。
これから
5θ=90°
∴θ=18°
が出てくる。

このθがグラフのただ１つの交点のθと一致することが確認できる。

質問者さんの解答はグラフで言えば明らかなことを数式を使い求めていることになりますね。

>特に(4)がわかりません。
(3)までで　sin2θ>0, cos3θ>0(ただし0<θ<90°) が分かっているので
0<3θ<90°∴0<θ<30°…(■)
が言えるので(■)の式を2倍すれば(4)の
0<2θ<60°
の不等式が出てきます。

また公式を使ってcos(3θ)=sin(90°-3θ)と変形すればsin同士の比較が出来るので
「90°-3θ」が出てきて、(■)から
0<90-3θ<90°
が言えて
～～～～～～～
sin2θ=sin(90°-3θ)　…(◆)
角（2θと(90°-3θ)）がいずれも0°～90°の間の角だと言うことを示したい。
その結果
2θ=90°-3θ　…(▲)
の関係を導き出せるのです。
～～～～～～～

>→そもそも、(1)～(4)までの計算って必要だったんでしょうか？
(◆)から(▲)を導き出すために必要なのです。

お分かりでしょうか？

お礼

おお～～グラフまではりつけてくださりありがとうございます。
しかも、みやすい上に分かりやすいです。おかげで理解できましたよ。
ありがとうございました。

回答No.4

mister_moonlight

＞Sin(90-θ)＝cosθになるって公式がわかれば、(1)～(4)までのことって不要で、いきなり、cos3θをsin(90-3θ)に変形させればいいんじゃないんでしょうか？

君の言うとおりだよ、解答が良くない。わざわざ遠回りをしている。

sin2θ=sin(90-3θ)だから、差を積に直すと、cos(π/2-θ)/2*sin(5θーπ/2)/2＝0
ここで、(π/2-θ)/2と(5θーπ/2)/2の値の範囲を定めると、θ≠0から、θ＝π/10.

たったこれだけの事なのにねぇ、参考書の解答には可笑しなものもある。

＞(5)sin2θ=cos3θ を変形すると sin2θ=sin(90-3θ)ゆえに、2θ=90-3θ θ=18

正しくは、sin2θ=sin(90-3θ)　→　2θ=90-3θ とは断定できない。2θ=3θ-90の場合だってあるんだから。
しかし、2θ=90-3θ が言いたくていろいろやってるとこを見ると、和(差)→積　の公式を使えない高1の問題なんだろうか。
高2なら、その公式を使う事は何の問題もないから。

お礼

なるほど～～そいういうやり方もあるんですね。参考になります。高校二年の２Bの参考書にのっていた問題でした。
おかげでよりいっそう理解が深まりました。ありがとうございました。

回答No.2

OKXavier

(1)(2)(3)はその通り。

(4)は、(3)で　0<3θ<90°　が得られているので、
この式の各辺を、3で割れば、
0<θ<30°ですから、
これから、　
　　0<2θ<60°‥‥（A)
がでます。

>0<90°-3θ<90°もなんで、こんな式をしているのか理解できません。

0<3θ<90°ですから、-90°<-3θ<0
この各辺に、90°を加えて、0<90°-3θ<90°‥‥（B)

>→そもそも、(1)～(4)までの計算って必要だったんでしょうか？
2θや90°-3θの範囲を押さえています。
(5)の変形で必要になる。

(5)
>(5)sin2θ=cos3θ を変形すると sin2θ=sin(90°-3θ)
>ゆえに、2θ=90°-3θ θ=18

sin2θ=sin(90°-3θ)　ならば、2θ=90°-3θ　‥‥（C)

このことが成立するのは、（A)、（B)があるからなのです。
2θや90°-3θの範囲が定まらなければ、
例えば、2θ=60°　90°-3θ=420°でも、sin2θ=sin(90°-3θ)　は
成立していますよね。
すべては（C)の準備のためだったわけです。お分かりになりましたか。

お礼

なるほど！！そういうことだったのかあ！すべては（C)の準備のためだったわけですね。
分かりました。ありがとうございますです。

回答No.1

yespanyong

(1)～(4)までの計算がなければ、(5)で
sin2θ＝sin(90－3θ)　→　2θ＝90－3θ
が言えません。
sinは周期関数なので一般的にsin(x)＝sin(y)だからといってx＝yになるとは限りません。
実際、この問題の例でもしθ＝90ならば sin2θ＝sin(90－3θ) は成り立ちますが 2θ＝90－3θ とはなりません。
したがって(5)を言いたいがためにsin(x)の x が 0＜x＜90 の範囲内にあることを言っておきたいわけです。
これならsin(x)が決まればxが一意に決まるため(5)が成り立つことになります。

ここで(4)に戻って考えますと、
(5)で sin2θ＝sin(90－3θ) という式が出てきているので、2θと(90－3θ)の両方が0～90の範囲内に収まっている必要があります。
(4)で(90－3θ)が出てきているのは唐突な気がしますが、(5)への布石というわけです。
また、0＜2θ＜60となるのはなぜかというのは単純な話で、(3)で0＜3θ＜90であることが分かったので0＜θ＜30となりますから0＜2θ＜60であるということです。
0＜2θ＜90を満たしさえすれば良いのでことさら2θ＜60であることを強調する必要はないのですが、(3)の0＜3θ＜90から導き出したことがわかるようにこのような表現にしてあるのだと思います。

お礼

ありがとうございます。わからなくて気になっていたのですが、
おかげで、解決できました。