実数でもできる複素数積分

質問

(1+sinθ)/(5+4cosθ)を０から２πまで積分しなさいという問題なんですが、実数で積分するのは難しいのでこれを複素数を使って積分します。

留点がz=-1/2となってRes(-1/2)を求めてそれに2πiをかけて積分をしたんですが答えがπ(4/3-i)になりました。答えにiが出てきてしまいました。これは明らかに間違ってますよね？(1+sinθ)/(5+4cosθ)の積分は実数で表されるはずなんですが、どうしても計算がうまくいきません。
よろしくお願いいたします。

回答No.1

leige · ベストアンサー

ｚ＝0も半径1の円内に含まれる極になりませんか

お礼

ｚ＝０も極であるとすると答えが2π/3になり答えになってそうです。ありがとうございます。あと、どうしてｚ＝０も極になるのでしょうか？

回答No.2

propon2334

No.1さんではありませんが…

z=e^(iθ)
として
2cosθ=z+z^(-1)
2isinθ=z-z^(-1)
としたんですよね？
その際
dz=izdθ
となるのでz積分するのなら被積分関数は(1/iz)倍する必要があるのです。よってz=0も極となります。

お礼

回答ありがとうございました。
2cosθ=z+z^(-1)
2isinθ=z-z^(-1)
として積分をしました。ｚ＝０も極とすると解けました。参考になりました！