ド・モアブルの定理を用いて直交形式で表す問題です

質問

複素数で表される、{-1 / 2 + (√3 / 2) * i }^n をド・モアブルの定理を用いて計算し、直交形式 z = x + iy で表せ。
ただし、i = √-1 で、　nは整数、x , y は実数とする。

という問題で、

極形式表示の　cos(2π/3) + i sin(2π/3)　に変換するところまでは分かったのですが、

n乗への変換方法と直交形式に変換する方法が分かりません。

きちんと理解して解けるようにしたいので、計算方法と解答を具体的に教えてもらえないでしょうか。

分かりやすいように、問題の式を画像でアップしておきます。

どうぞ、よろしくお願いします。

回答No.3

-kc · ベストアンサー

ド・モアブルの定理は、下記です。

(cosθ＋i・sinθ)^n=cos(nθ)+i・sin(nθ)

この式の証明は、数学的帰納法で簡単に示すことができます。
教科書にもおそらく書いてありますので、そちらを参照願います。

z＝問題の左辺
＝{cos(2π/3) + i sin(2π/3)}^n
＝cos(2πn/3) + i sin(2πn/3)　------(1)
＝x + i・y

x=cos(2πn/3)、y=sin(2πn/3)となります。

0≦a≦2π,bを整数としたとき、cos(a+2πb)=cos(a)、sin(a+2πb)=sin(a)が
成り立ちます。

(1)式の三角関数の（）の中は、2πにn/3を掛けた値です。
したがって、nが3で割ると割り切れるか、1余るか、2余るか、によって、
下記のように3パターンの解があります。

(i)n=3k（kは整数）のとき

x=cos(2πn/3)=cox2πk=cox2π=1

y=sin(2πn/3)=sin2πk=sin2π=0

よって、z=1

(ii)n=3k+1（kは整数）のとき

x=cos(2πn/3)=cos(2πk+2π/3)=cos(2π/3)=-1/2

y=sin(2πn/3)=sin(2πk+2π/3)=sin(2π/3)=√3/2

よって、z=-1/2 + √3/2 i

(iii)n=3k+2（kは整数）のとき

x=cos(2πn/3)=cos(2πk+4π/3)=cos(4π/3)=-1/2

y=sin(2πn/3)=sin(2πk+4π/3)=sin(4π/3)=-√3/2

よって、z=-1/2 - √3/2 i

お礼

回答ありがとうございます！
おかげさまで、解法が理解できました＾＾ｂ

とても分かりやすく、具体的に説明していただいた-kcさんの回答をベストアンサーにしたいと思います！

回答No.5

mister_moonlight

何故に　mを整数としてn=3m、3m+1、3m+2　とするかについて十分な説明がない。
極形式表示よりも、そちらのほうが余程重要なのにね。。。。。ｗ

cos(2nπ)/3＋i*sin(2nπ)/3。
0≦2nπ/3＜2π　だけで考えると、0≦n＜3。つまり、n＝0、1、2。
これを一般化すると、周期を3とすると良いから　n=3m、3m+1、3m+2　に場合わけすることになる。

(注)
解法が指定されているから、その方法に従わなければならないが。
解法が自由なら、次のように考えたら良い。但し、本質的には　同じ事なんだが。

α＝-1 / 2 + (√3 / 2) * i　→　2α＋1＝√3* i　ここで両辺を２乗すると　α＾2＋α＋1＝0　→　(α-1)*(α＾2＋α＋1)＝0 →　α＾3-1＝0
従って、α＾nを考える事になるが、nの分類は既に説明したから
(1)n=3mの時　α＾n＝α＾(3m)＝(α＾3)＾m＝1
(2)n=3m+1の時　α＾n＝α＾(3m＋1)＝(α＾3)＾m*α＝α
(3)n=3m+2の時　α＾n＝α＾(3m＋2)＝(α＾3)＾m*α＾2＝α＾2＝-(α＋1)。但し　α＾2＋α＋1＝0による。

お礼

回答ありがとうございます！

mを整数としてn=3m、3m+1、3m+2　とする理由がハッキリと理解できました。
また何かあればよろしくお願いします！

回答No.4

info22_

#1です。

A#1の補足です。

>=e^(i*2nπ/3) ←これが極形式表示です。
>=cos(2nπ/3)+i sin(2nπ/3)　←これが直交形式です。

極形式表示
　z=|z|e^(iθ), tanθ=Im(z)/Re(z)
　今の場合
　{(-1/2)+(√3/2)*i}^n={cos(2π/3)+i sin(2π/3)}^n　...(★)
　=|1|e^(2nπ/3)
　=e^(2nπ/3) ... 極形式表示
　=cos(2nπ/3)+i sin(2nπ/3)
直交形式表示
　z=x+iy
　今の場合（★）の式にド・モアブルの定理を適用すれば
　{(-1/2)+(√3/2)*i}^n=cos(2nπ/3)+i sin(2nπ/3) ... 直交形式
　となります。
　mを整数としてn=3m,3m+1,3m+2に場合分けすると
　実部　x=Re(z)=cos(2nπ/3)=1(n=3mの時),-1/2(n≠3mの時)
　虚部　y=Im(z)=sin(2nπ/3)
　　　　　=0(n=3mの時),√3/2(n=3m+1の時),-√3/2(n=3m+2の時)
　となります。

お礼

補足ありがとうございます！

実部と虚部に分けて解答する方法もあるんですね。

回答No.2

ferien

＞複素数で表される、{-1 / 2 + (√3 / 2) * i }^n をド・モアブルの定理を用いて計算し、
＞直交形式 z = x + iy で表せ。
＞ただし、i = √-1 で、　nは整数、x , y は実数とする。

＞極形式表示の　cos(2π/3) + i sin(2π/3)　に変換するところまでは分かったのですが、
後は、ド・モアブルの定理を用いて
{-1 / 2 + (√3 / 2) * i }^n
＝｛cos(2π/3) + i sin(2π/3)｝^n
＝cos(2ｎπ/3) + i sin(2ｎπ/3)　なのではないでしょうか？
ｎの値によって全体の値が変わるので、ｎについて場合分けすれば、
ｎが正か０のとき、
ｎが３の倍数のときは、cos(2ｎπ/3)＝１，sin(2ｎπ/3)＝０なので、ｚ＝１
ｎが３で割って１あまるとき、cos(2ｎπ/3)＝-1/2，sin(2ｎπ/3)＝√3/2　なので、
ｚ＝（-1/2）＋（√3/2）*ｉ
ｎが３で割って２あまるとき、cos(2ｎπ/3)＝-1/2，sin(2ｎπ/3)＝－√3/2　なので、
ｚ＝（-1/2）＋（－√3/2）*ｉ
ｎが負のとき、
cos(－2ｎπ/3) + i sin(－2ｎπ/3)
＝cos(2ｎπ/3) － i sin(2ｎπ/3)　なので、sinの符号が逆になります。

でどうでしょうか？考えてみて下さい。

お礼

回答ありがとうございます！

とても参考になりました！
また何かあればよろしくお願いします＾＾

回答No.1

info22_

{-1 / 2 + (√3 / 2) * i }^n
={cos(2π/3) + i sin(2π/3)}^n
={e^(i*2π/3)}^n
=e^(i*2nπ/3)
=cos(2nπ/3)+i sin(2nπ/3)

お礼

回答ありがとございます！

ド・モアブルの定理を用いてn乗の式へ変換をするところですね。
とても参考になりました！