確率 どの方法が一番多くなるか

質問

確率の問題になるかと思います

袋の中に0から99までの100枚のカードがあります
この中から１と99のカードを出来るだけ多くの回数を引く方法を求めたいです

但し特殊なルールがあり、0を引いた場合であれば1と99の引いた回数はそのままカウントをし
カードを全部袋の中に元に戻す事で再度1からやり直す事が出来るとします

逆に、0が出ない場合であればリセットをする事は出来ず、1と99が既に引いた場合でも0が出るまで引き続けないといけません

全部のカードを引いた場合は強制的にリセットされまた最初の状態に戻ります

カードを引く確率はどれも同様に確かである場合に
有限回数（例として1000回)カードが引ける場合はどのような方法だと一番多く1と99を引く事が出来るでしょうか？

回答No.3

QoooL · ベストアンサー

なるほど。

「どのような方法だと一番多く1と99を引く事が出来る？」

の意味がやっとわかりました。
画像がつぶれてしまうかも知れませんが、貼っておきます。
質問者様のお聞きになりたいことと私が出した例とで、考え方は同じ、ということがコンセンサス取れて良かったです。

最初は樹形図で考えるのが一番妥当と思います。Ａが出てもＪｋが出てもそれ以外でも全く同じなら計算だけでやりやすいですけど、この問題では
「同じではない」ので、場合分けが必要　ですから、場合分けと数字を同時に描き込める樹形図が便利、という理由になります。
道筋を順に追えば１４分の１かける１３分の１１かける１２分の１かける・・・と確率を求めやすいですし、「互いに排反」（道が違えば、同時に起こることはあり得ない）ということについてうっかり２回数えるミスを防げますからね。

さすがに全部描く余裕はありません。仮に５回目としても３の５乗＝２７３なので、場合分けも膨大になって一枚の紙に描くのは不可能でしょう。

しかし、「できるだけ単純化して考える」というヒントは差し上げましたから後はご自分でがんばってみてください。
時間の都合上私は最後の答えまではお付き合いできないと思います。

ただ、「３０回まで引く」という例を挙げましたが、１５回まで考えれば充分だと思います。カード枚数の１４を超えるので、「全て出尽くした」というケースも１回は経験できますから。１５回まで考えれば、３０回まで考えるのと一緒のこと、という意味です。（きっと。どこか間違っていたら、他の皆さん、質問者様にアドバイスして差し上げてください。）

そこで・・・さらに楽にします。
カードはＫ（キング）までなくても別にいいんです。Ｑ（クイーン）まで、９までしかなくても分母が変わるだけで考え方は変わらないです。
では、いっそのこと、カードはＡ、Ｊｋ、２、３の４枚だけでもいいんじゃないんでしょうか。（００～９９と、００～５０＋９９とでも、考え方は変わらないですよね。ならば００～１０＋９９としたら？）

あんまりカード枚数を少なくし過ぎると、計算するときに混乱しやすいので注意力を使いますから、私はあえて５枚くらいにしますけどね。（２分の１とか４分の２とか４分の１とかがあまりにも頻繁に出ると、どれがどの数字か間違いを起こしやすくなるし、「答えの偶然の一致」を起こしやすくなって、ミスを見つけにくくなる、と個人的に思っています。）

５枚なら６回まで考えれば、「全て出尽くした」というケースも１回は経験できるわけです。
なんとか手で計算できるレベルですね（笑）

添付した樹形図では、
「Ｊｋが出ても絶対にリセットの権利を使わない」
「Ｊｋが出たら迷わずすぐにリセットする」
の２つの極端な例を示しています。
０のところはそれより先は考える必要はないので無視してください。（コピペしやすいようにその先まで描いているだけです。）
実際には質問者様は、
「Ｊｋが出たときに、それまでにＡが出ているかいないかで、リセットの権利を使うか使わないかの判断をしたい」
ということですよね。
ただ、私は、同じ樹形図の中に、Ｊｋが出たときの右に、「リセットする」「リセットしない」の場合分けを描きたくありません。それをやってしまうと、
「リセットする」「リセットしない」０と１
「リセットする」「リセットしない」１と０
というように掛け算を場合分けしないといけないからです。一歩間違うと、「リセットする」場合と「リセットしない」場合の確率を同時に考えてしまう危険があります。

そこで、どうせ「リセットする」「リセットしない」で分けるなら、左の樹形図と右の樹形図で分けたのです。
「3枚目でジョーカーを引いた場合だと一旦リセットすべきなのか？それともそのまま引き続けるべきなのか？」
「6枚目でジョーカーを引いた場合だと一旦リセットすべきなのか？それともそのまま引き続けるべきなのか？」
「12枚目でジョーカーを引いた場合だと一旦リセットすべきなのか？それともそのまま引き続けるべきなのか？」
を考えるのは、予想よりは意外と簡単に描けると思いますよ。分母の部分の１４を６とかに変えれば良いわけですから。
ただ、６枚目の場合、５枚目までの確率も掛け算する必要がありますけどね。

大学入試に出てもおかしくはないレベルだと思います。１問３０分かけさせる大学の場合ですけど。
計算上は、樹形図で立てた方針をもとに、数列の漸化式で解くと思います。
「リセットした後ｋ回目で初めてＡが出る確率」をＰｋ、とおくかな？

やっていないからわかりませんけど、このように、Ａが出るか出ないかが最も重要な分かれ目になる場合、それをリセットとの関係で表せば、Ｐｋ＝（ｋの式）で書けると思います。

損得の分岐点までは示せなくてすみません。

なんでこういう問題を思い付いたのか、個人的に興味ありますけどね（＾＾）

お礼

なるほど
詳しい説明をありがとうございます
少しこちらでも回答を参考に計算してみようかと思います

回答ありがとうございました

回答No.4

QoooL

＃３です。

２７３？

○　２４３です。

頭がオーバーヒートしました。失礼。

回答No.3

QoooL

なるほど。

「どのような方法だと一番多く1と99を引く事が出来る？」

の意味がやっとわかりました。
画像がつぶれてしまうかも知れませんが、貼っておきます。
質問者様のお聞きになりたいことと私が出した例とで、考え方は同じ、ということがコンセンサス取れて良かったです。

最初は樹形図で考えるのが一番妥当と思います。Ａが出てもＪｋが出てもそれ以外でも全く同じなら計算だけでやりやすいですけど、この問題では
「同じではない」ので、場合分けが必要　ですから、場合分けと数字を同時に描き込める樹形図が便利、という理由になります。
道筋を順に追えば１４分の１かける１３分の１１かける１２分の１かける・・・と確率を求めやすいですし、「互いに排反」（道が違えば、同時に起こることはあり得ない）ということについてうっかり２回数えるミスを防げますからね。

さすがに全部描く余裕はありません。仮に５回目としても３の５乗＝２７３なので、場合分けも膨大になって一枚の紙に描くのは不可能でしょう。

しかし、「できるだけ単純化して考える」というヒントは差し上げましたから後はご自分でがんばってみてください。
時間の都合上私は最後の答えまではお付き合いできないと思います。

ただ、「３０回まで引く」という例を挙げましたが、１５回まで考えれば充分だと思います。カード枚数の１４を超えるので、「全て出尽くした」というケースも１回は経験できますから。１５回まで考えれば、３０回まで考えるのと一緒のこと、という意味です。（きっと。どこか間違っていたら、他の皆さん、質問者様にアドバイスして差し上げてください。）

そこで・・・さらに楽にします。
カードはＫ（キング）までなくても別にいいんです。Ｑ（クイーン）まで、９までしかなくても分母が変わるだけで考え方は変わらないです。
では、いっそのこと、カードはＡ、Ｊｋ、２、３の４枚だけでもいいんじゃないんでしょうか。（００～９９と、００～５０＋９９とでも、考え方は変わらないですよね。ならば００～１０＋９９としたら？）

あんまりカード枚数を少なくし過ぎると、計算するときに混乱しやすいので注意力を使いますから、私はあえて５枚くらいにしますけどね。（２分の１とか４分の２とか４分の１とかがあまりにも頻繁に出ると、どれがどの数字か間違いを起こしやすくなるし、「答えの偶然の一致」を起こしやすくなって、ミスを見つけにくくなる、と個人的に思っています。）

５枚なら６回まで考えれば、「全て出尽くした」というケースも１回は経験できるわけです。
なんとか手で計算できるレベルですね（笑）

添付した樹形図では、
「Ｊｋが出ても絶対にリセットの権利を使わない」
「Ｊｋが出たら迷わずすぐにリセットする」
の２つの極端な例を示しています。
０のところはそれより先は考える必要はないので無視してください。（コピペしやすいようにその先まで描いているだけです。）
実際には質問者様は、
「Ｊｋが出たときに、それまでにＡが出ているかいないかで、リセットの権利を使うか使わないかの判断をしたい」
ということですよね。
ただ、私は、同じ樹形図の中に、Ｊｋが出たときの右に、「リセットする」「リセットしない」の場合分けを描きたくありません。それをやってしまうと、
「リセットする」「リセットしない」０と１
「リセットする」「リセットしない」１と０
というように掛け算を場合分けしないといけないからです。一歩間違うと、「リセットする」場合と「リセットしない」場合の確率を同時に考えてしまう危険があります。

そこで、どうせ「リセットする」「リセットしない」で分けるなら、左の樹形図と右の樹形図で分けたのです。
「3枚目でジョーカーを引いた場合だと一旦リセットすべきなのか？それともそのまま引き続けるべきなのか？」
「6枚目でジョーカーを引いた場合だと一旦リセットすべきなのか？それともそのまま引き続けるべきなのか？」
「12枚目でジョーカーを引いた場合だと一旦リセットすべきなのか？それともそのまま引き続けるべきなのか？」
を考えるのは、予想よりは意外と簡単に描けると思いますよ。分母の部分の１４を６とかに変えれば良いわけですから。
ただ、６枚目の場合、５枚目までの確率も掛け算する必要がありますけどね。

大学入試に出てもおかしくはないレベルだと思います。１問３０分かけさせる大学の場合ですけど。
計算上は、樹形図で立てた方針をもとに、数列の漸化式で解くと思います。
「リセットした後ｋ回目で初めてＡが出る確率」をＰｋ、とおくかな？

やっていないからわかりませんけど、このように、Ａが出るか出ないかが最も重要な分かれ目になる場合、それをリセットとの関係で表せば、Ｐｋ＝（ｋの式）で書けると思います。

損得の分岐点までは示せなくてすみません。

なんでこういう問題を思い付いたのか、個人的に興味ありますけどね（＾＾）

回答No.2

QoooL

少しご質問の内容がわかりませんでしたが、
私が考えていることと同じだということを祈ります。

まず、書いていらっしゃいませんでしたけど、「リセットされる」という場合でも、累積回数は１から１０００までずっと通しで数えているのですね？　「０を引くと、カードの数が増えてしまうので、１や９９以外が出る確率が増えてしまう。だから０はなるべく引かない方が有利では？」と考えていらっしゃる気がします。

そうではありません。

カードの枚数を減らしましょう。
「スペードのＡ（エース）からＫ（キング）までとジョーカー（Ｊｋ）を加えた、１４枚のトランプがある。山から全部なくなるまでカードは戻さず１枚ずつ引いていき、０になったらまた全てを元の山に戻す。またジョーカーが出た場合も全てを元の山に戻す。これを３０回まで繰り返すとき、Ａが出た回数を数える。」
という問題と同じになるはずです。

この場合、Ａの出る確率は１４分の１で永久に変わりません。
「え？　１枚目でＡ以外が出たら、２枚目は１３分の１になるんじゃないの？」
と思うかも知れませんが、
それは、
「１枚目でＡ以外が出たもとで２枚目にＡが出る確率」（条件確率）
ですから、
１４分の１３　かけるの　１３分の１　になるので、結局１４分の１です。
（高校の教科書に　Ｐｂ＝Ｐａ　ｘ　Ｐａｂ　という公式が載っています。）

ですから、一見ジョーカー（０）が出るか出ないかに左右されそうですが、いっつも当たりが出る確率は一緒なのです。

ただし！　なんとなくギャンブルやゲーム開発に応用しそうな匂いがしますが、誰かと勝負する時には先に引く方が有利です。
なぜなら、先手が２分の１、後手も２分の１の場合、（野球やＰＫのように必ず同じ回数ずつやるなら公平ですが）先に順番が回ってきて当たりを引くと、後手は自動的に負けるからです。

以上より答えは、
どのような方法だと一番多く1と99を引く事が出来るでしょうか
↓
カードを引く確率はどれも同様に確かである
ので、どんな工夫をしても１や９９が出る合計回数には影響しない

です。

補足

回答ありがとうございます
QoooL様の上げた例に直しますと
「スペードのＡ（エース）からＫ（キング）までとジョーカー（Ｊｋ）を加えた、１４枚のトランプがある。山から全部なくなるまでカードは戻さず１枚ずつ引いていき、０になったらまた全てを元の山に戻す。またジョーカーが出た場合も全てを元の山に戻す。これを３０回まで繰り返すとき、Ａが出た回数を数える。」

こちらの
「またジョーカーが出た場合も全てを元の山に戻す。」
ここの部分が少し異なり、全て戻す事が"出来る"なんです。

例えば5枚目でジョーカーが出た場合、その後に出るであろうAに期待して残りの9枚を引いていくか
それとも早めに全てを元の山に戻すかは自分で選択が出来るのです
逆に1枚目でAを引いた場合であってもジョーカーを引くか、14枚全てを引くまでリセットが出来ない
リセットの回数に特に制限は無いがトータルで100枚までしか引く事が出来ない

具体的な例として
1回目でジョーカーを引いた場合、Aを引いたら即座にリセットが出来るようにそのまま引く方が懸命だと考えられます
その後もし5回目でAを引いた場合、その時点で当たりは残っていないのでリセットをすれば余った10回分多く引く事が出来る
ただ、これが6枚目でジョーカーを引いた場合だと一旦リセットすべきなのか？それともそのまま引き続けるべきなのか？

こういったルールの場合にAを最も多くの回数引くことが出来るのはどのような引き方になるのでしょうか？

自分が伝えたかったのはこのような形の質問でした
もしご覧になっておりましたら助力をお願い致します

回答No.1

ryo_ Deathscythe（@Deathscythe）

「袋の中から無造作に取り出して」ではなく「引く方法」があるの？

ってことは狙ってそれだけ引く事が可能ということ

しっかり見て間違いなく1→99→0と引けば667回で一番多くなる

お礼

あくまで引くのはランダムでカードを直接確認することは出来ないのです・・・
回答ありがとうございました