確率の問題ですが

質問

確率の問題なのですが、答えがないのでどうか答え合わせを手伝ってやってください。

【問題】１から６の番号が書かれたカードが１枚ずつ袋の中に入っている。これを１枚引いては袋の中に戻すという試行を８回行うとき、すべてのカードを１回以上引いている確率を求めよ。

自分の考えでは１７５／１７４９６になると思うのですが、友人は３５／２９１６ではないかと言います。どちらが正しいのでしょうか？（どちらとも間違いかもしれませんが・・・）どうか宜しくお願いします。

回答No.3

fushigichan · ベストアンサー

fuji2002さん、こんにちは。
これは、大変難しい問題だと思います。

まず、場合わけします。＃２yuusukekyoujuさんの場合分け方でいいですね。

1)同じ種類のカードが3枚と、あとの残り5種類は1枚ずつの場合。

このとき、８つの席の、どの３つが、同じ種類なのかで8C3とおり。
それは、どの番号なのかで、6とおり。
残りの5種類のカードの並べ方は、5!=120通りなので、

8C3*6*120=40320

2)2種類のカードが2枚ずつ、残りの4種類は1枚ずつの場合。
(a1,a1,a2,a2,a3,a4,a5,a6)と考えてみましょう。

まず、(a1,a2)の決め方は、6C2とおり。
８つの席の、どの２つがa1なのかで、8C2とおり。
残り６つの席の、どの２つがa2なのかで、6C2とおり。
残りの4種類のカードの並べ方で、4!=24とおり。

なので、6C2*8C2*6C2*4!=151200

1)2)を足したのが求める場合なので、
40320+151200=191520とおり。

全部のカードの引き方は、6^8通りなので、

191520/6^8=36*5320/36*6^6=4*1330/2*3*2*3*6^4
=1330/9*6^4=2*665/9*2*3*6^3=665/9*3*6^3=665/5832

と求められました。
ご参考になればうれしいです。

お礼

ご回答いただきありがとうございます。
専門家のお答えなら間違いないですね。これでぐっすり寝られそうです。
＃２の方とは５！や４！を使うあたりがちょっと違うのですね。私は＃２の方と同じ求め方をしていたので、こちらの求め方も大変参考になりました。どうもありがとうございました。

回答No.2

yuusukekyouju

まず全体の場合の数は6＾8＝1679616
全てのカードを1回以上ひくとということは８回のなかに1から6までの数字が必ず1回はあるので残り２回分が同じ数字か、異なるかしかない
つまり1から6までのうち5個の数字は1回で1個の数字を3回引く場合と4個の数字が1回で残りの2個の数字が2回ずつの場合に分けられる。
（１）5個が1回で1個が3回となる場合の数
3回引く数字は6通りありそのそれぞれについて
　8*7*6*5*4*3*2*1/（3*2*1）となるので
　6*（8*7*6*5*4*3*2*1）/（3*2*1）＝40320
（2）4個が1回で2個が2回となる場合の数
2回となる2個の組み合わせは
　6*5/2＝15となるので
　15*（8*7*6*5*4*3*2*1）/（2*1*2*1）＝151200

ゆえに
（40320+151200）/1679616＝665/5832

お礼

質問を書いた後で気付いたのですが、自分の答えでは、「3回引く数字は6通り」の６と、「2回となる2個の組み合わせは 6*5/2＝15」を忘れていたので、それを含めて計算しなおしたらyuusukekyoujuさんと同じになりました。これで多分間違いないですよね。どうも有り難うございました！

回答No.1

SNAPPER

まず、分母(総パターン数）は ６＾８　・・・１）

次に８回の試行のうち６回は１～６が１回ずつ出てあと２回は何でも良いと考える。

「１～６が１回ずつ出る」出方は順列なので６！・・・２）

８回のうち「１～６が１回ずつ出る」場所の組み合わせは　８Ｃ６＝２８・・・３）

残りの２回は何が出ても良いので、その出方は　６＾２・・・４）

以上から　２）＊３）＊４）／１）＝３５／８１・・・（答）
間違っているかな？？

お礼

自分も最初、SNAPPERさんと同じような考え方をしたのですが、この方法ではダブりを取り除くのが大変なので断念しました。やり方としてはありだと思うので、もう少し考えてみます。有難うございました。