logの中の積分とlogの式の変換について

質問

ロケットの打ち上げについて非慣性系の運動方程式を立てました。

画像のように運動方程式から一度積分して速度をもとめました。

v(t)=-gt -V_0log(1-(αt/m_M+m_0))・・・(1)

が式です。
質問内容は

ここから距離yを求めよというもの。
そしてもしもt=m_0/αのとき、速度と距離はどうなるかという演習問題の最後がわかりませんでした。

画像のように
y(t)= -1/2gt^2 - V_0[(-m_M+m_0/α)+(t)log(1-αt/m_M+m_0)-(t)]

が(1)式を積分した結果になるらしいのですが

log(1-(αt/m_M+m_0))
を積分するとなぜこうなるのかの経過を教えてください。

そしてt=m_0/αを代入した結果Vf,yfはそれぞれ

vf= -gm_0/α　+ V_0log[1+(m_0/m_M)]

yf= -g/2・(m_0/α)^2 + V_0[(m_M/α) log (m_M/m_M+m_0) + (m_0/α)]

となるらしいのですが緑の線で引いたところがどうしてそうなるのかがわかりません。

logの符号を逆転？するとかしないとか記憶が確かでなくその正確なプロットがわかりません。

ご面倒おかけしますがご指導お願い申し上げます。

回答No.4

yyssaa · ベストアンサー

＞No.2、3です。続きです。
t=m_0/αとおくと、
(1)は
v(m_0/α)=-g(m_0/α)-V_0log[1-{m_0/(m_M+m_0)}]
ここで-logA=logA^(-1)=log(1/A)の変換を行うと
-V_0log[1-{m_0/(m_M+m_0)}]=-V_0log{m_M/(m_M+m_0)}
=V_0log{(m_M+m_0)/m_M}=V_0log(1+m_0/m_M)となるので、
v(m_0/α)=-g(m_0/α)+V_0log(1+m_0/m_M)
又、
y(t)=-(1/2)gt^2-V_0[{-(m_M+m_0)/α+t}log{1-αt/(m_M+m_0)}-t]は
t=m_0/αとおくと、
y(m_0/α)=-(1/2)g(m_0/α)^2-V_0[{-(m_M+m_0)/α+(m_0/α)}log{1-(α/(m_M+m_0))(m_0/α)}-m_0/α]
=-(1/2)g(m_0/α)^2-V_0[(-m_M/α)log{1-m_0/(m_M+m_0)}-m_0/α]
=-(1/2)g(m_0/α)^2-V_0[(-m_M/α)log{m_M/(m_M+m_0)}-m_0/α]
=-(1/2)g(m_0/α)^2+V_0[(m_M/α)log{m_M/(m_M+m_0)}+m_0/α]

お礼

log自体の定義を用いた変換とlogの微分の定義の参照の提示から全ての過程を一つ一つ丁寧にご指導くださり本当にありがとうございます。
今からしっかりとお教えいただいたことをノートにとって分かるまで計算しようと思います。

骨の折れる作業にもかかわらずご親切に本当にありがとうございました。今後ともお時間がございます時で構いませんので是非ともご指導お願い申し上げます。
ありがとうございました。

回答No.3

yyssaa

＞No.2です。前回回答でkをα/(m_M+m_0)に戻すところに誤りが
ありました。済みません。以下の通り訂正します。
定数α/(m_M+m_0)=kとおけば
(1)はv(t)=-gt -V_0log(1-kt)
これをt=0→tで積分すれば
∫[0→t]v(t)dt=-(1/2)gt^2-V_0∫[0→t]log(1-kt)dt
ここで1-kt=sと置換、dt=(-1/k)ds、t=0でs=1、t=tでs=1-ktから
∫[0→t]log(1-kt)dt=(-1/k)∫[1→(1-kt)]logsds
=(-1/k)(slogs-s)[1→(1-kt)]=(-1/k){(1-kt)log(1-kt)+kt}
=(-1/k+t)log(1-kt)-t
kを戻すと

(-1/k+t)log(1-kt)-t={-(m_M+m_0)/α+t}log{1-αt/(m_M+m_0)}-t
よって
∫[0→t]v(t)dt
=-(1/2)gt^2-V_0[{-(m_M+m_0)/α+t}log{1-αt/(m_M+m_0)}-t]
(参考:∫logsds=slogs-s)

回答No.2

yyssaa

＞定数α/m_M+m_0=kとおけば
(1)はv(t)=-gt -V_0log(1-kt)
これをt=0→tで積分すれば
∫[0→t]v(t)dt=-(1/2)gt^2-V_0∫[0→t]log(1-kt)dt
ここで1-kt=sと置換、dt=(-1/k)ds、t=0でs=1、t=tでs=1-ktから
∫[0→t]log(1-kt)dt=(-1/k)∫[1→(1-kt)]logsds
=(-1/k)(slogs-s)[1→(1-kt)]=(-1/k){(1-kt)log(1-kt)+kt}
=(-1/k+t)log(1-kt)-t
kを戻すと
(-1/k+t)log(1-kt)-t=(m_M+m_0/α+t)log{1-(α/m_M+m_0)t}-t
よって
∫[0→t]v(t)dt
=-(1/2)gt^2-V_0[(m_M+m_0/α+t)log{1-(α/m_M+m_0)t}-t]
(参考:∫logsds=slogs-s)

回答No.1

178-tall

参照 URL だけでも…。

参考URL：

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/koukou/expo_log_integral1.htm

お礼

ありがとうございます。