ゴルフボールの弾道式について

質問

ゴルフ雑誌「飛ばしの科学」（廣済堂出版　増田正美著）に弾道方程式は下記とありますが良く理解できないところがあります。積分の手順等を教えていただけないでしょうか。
運動方程式は
水平方向　ｍｘ“＝１／２＊Cｄ＊π＊a＾２＊ρ＊V＾２　・・・（１）
直方向　ｍｙ“=　m＊g+(２＊π＊a＾２＊ρ＊V＊V0＊ｓｉｎ(θ))＊ｋ　　・・・（２）

（１）から　１／ｖ－１／Ｖ０　＝β＊ｔ　・・（３）
　　水平方向の飛距離　Ｓ＝１／β＊ln（１＋β＊V０＊ｔ）・・・（４）　

（２） から　垂直方向の高さ　ｈ＝１／２＊ｇ＊ｔ＾２＋（ｋ＊ｇ／γ＋V0＊ｓｉｎ（θ））＊ｔ－ｋ＊ｇ／γ＊（１－e＾（－γ＊ｔ））　・・・（５）
　ここで　ｍ：ボールの重量　　a：ボールの半径　ρ：空気密度　Cd：空気抵抗係数　　V：水平方向速度　ｇ：重力加速度　　V0：水平方向初速度　θ：ロフト角　　ｋ：浮力係数　　ln：自然対数　e：自然対数の底
　γは　水平方向の速度の近似式　V　=　V0＊e＾（－γ＊ｔ）・・・（６）で表せるもの

私の質問：（１）～（４）までは理解できるのですが（２）を積分して（５）を出す手順が分かりません。
また、（６）はどのようにして作った式なのかもわかりません。　
以上２点を教えて頂けないでしょうか。

回答No.3

KENZOU

>y"=-g+γsinθV0^2/(1+βV0t) はどのようにして導かれたのか分からず

y"=(dVy/dt)=-g-(2πa^2ρVxV0sinθ)k/m
の式にVx=dx/dt=V0*[1/(1+βV0t)]を代入し，γ=-2πa^2ρk/mとしただけです。落ち着いてフォローされれば理解できると思いますよ。
＃２でも書きましたが，初期条件はどうなっているのでしょうね。テキストの誤植も含めてチェック用と思いますが。。。（←えらそうなことを言っていたらごめんなさい。）

補足

返事が遅れて申し訳ありません。（１）γは　水平方向の速度の近似式　V　=　V0＊e＾（－γ＊ｔ）・・・）で表せるものと記載してありましたので勝手にγを定義するのはおかしいと思います。
（２）初期条件はＶ０のみでは不足なのでしょうか。
（３）水平方向の式は導くことができので、垂直方向が解けないので、垂直方向について教えて欲しいとお願いしております。改めてお願い申し上げます。

回答No.2

KENZOU

初期条件が不明確ですね。与式の微分方程式は記述間違いがないですか？
それは兎も角，V0=Vx：水平方向初速度とするとy軸方向の初速度Vyはθを仰角としてVy＝Vxtanθ。Vは「水平方向の速度」。そうすると弾道方程式のx成分は
mx"=m(dVx/dt)=-(1/2)Cｄ*π*a^2*Vx^2=-αVx^2
-(1/Vx^2)d(Vx/dt)=β(=α/m)
d(1/Vx)=kdt 1/Vx=kt+C t=0:Vx=V0 →C=1/V0
∴1/Vx-1/V0=βt , β=(1/2m)*Cｄ*π*a^2　　(1)
(1)より Vx=dx/dt=V0*[1/(1+βV0t)]→x=(1/β)ln(1+βV0t)
となります。今，βV0tが1より小さいとすると2項展開で1/(1+βV0t)≒1-βV0t。またe^(-x)はxが小さければe^(-x)≒1-xと展開されるから1/(1+βV0t)≒e^(-βV0t)

次ぎにy成分は
y"=(dVy/dt)=-g-(2πa^2ρVxV0sinθ)k/m=-g-γsinθV0^2/(1+βV0t)
y'=Vy=-gt-(γ/β)sinθV0ln(1+βV0t)+C
t=0でVy=Vxtanθ=V0tanθ/(βV0t+1)となるから
y'=-gt-(γ/β)sinθV0ln(1+βV0t)+V0tanθ/(βV0t+1)
これを解いてやればyが求められます。Tryしてみてください。

補足

大変失礼しました。my"の右辺第一項のmgの符号は－（マイナス）でした。更に、βの符号説明が漏れておりました。回答者が記載されております通りβ=Cdρπa^2/(2m)でしす。
βV0tは小さくはなく０～２程度にはなります。ｅ^(-x)のｘも小さくはないと思います。（どのように使われているのかわかりませんが）
y"=-g+γsinθV0^2/(1+βV0t) はどのようにして導かれたのか分からず、最初からつまづいております。申し訳ありませんがもう少し丁寧に、最後までよろしくお願いいたします。

回答No.1

N64

(1)式の解法が理解できたのに、(2)式の解法が理解できないのは、たぶん、(1/x)を積分すると、ln(x)になることがわかればよいのかと、思います。

参考URL：

http://ksgeo.kj.yamagata-u.ac.jp/~kazsan/class/geomath/integral.html

補足

ご指摘の1/xの積分がln(x)になることはわかっており、（５）に似た式は出るような気はするのですが正確に（５）に行き着きません。申し訳ありませんが素人にわかるように１行づつ計算、変形手順を教えて頂けないでしょうか。