logの積分

質問

y＝f(x)を積分すれば、その面積が求まりますが、y＝log(f(x))を積分すると、何が分かるのでしょうか？
　例えば、時刻ｔにおける速度を表す関数y＝f(t)を積分すれば、進んだ距離が求まりますが、y＝log(f(t))を積分すると、何が求まるのでしょうか？

回答No.2

rabbit_cat · ベストアンサー

まあ、
∫log(f(t))dt
≒Δx{ log(f(t0)) + log(f(t0+Δt)) + … }
＝Δx{ log( f(t0)・f(t0+Δt)・f(t0+2Δt) }
だから、
f(t)がなんか掛け算に意味があるような関数だったら意味があるのでしょうか。

株が時刻tで何パーセント儲かるとして、ある時間でどれだけ儲かるかとか。

お礼

株、というのが具体的でありがたかったです。

回答No.3

rabbit_cat

＃２をもう少し具体的に言えば、
g(x) = exp(∫log(f(x))dx)
とすれば、
g(x)は、微分方程式
y' = f(x)*y
の解。

回答No.1

oyaoya65

XY直交座標平面上でxをX軸,ｙをY軸にとった場合は
y=f(x)の積分
∫[a->b]f(x)dx
は面積を表します。

g(x)=log(f(x))とおけば
y=g(x)の積分
∫[a->b]g(x)dx
も面積を表します。

しかし、(x,f(x))をXY直交座標平面上の点と考えない場合、言い換えれば、単なる関数関係と考えれば、積分＝面積とはなりませんね。
f(x)を面積とすれば積分は体積になります。
f(x)=2π(ax/h)^2とすれば
∫[0->h]f(x)dx
は高さh,底面の半径aの円錐の体積になります。
f(x)を単位長あたりの質量密度[kg/m]とすれば
∫[0->a]f(x)dx
ば長さaの質量密度の不均一な線材の重さになります。

f(x)の演算子fが面積を表す関数変換、質量密度関数変換、重力関数変換、等々、何を意味するかで、積分が何を表すかが変わってきます。

y=f(t)についても、tを時間、y=f(x)の演算子fは速度変換を表すものであれば、積分は距離になるでしょう。
一般には関数の演算子fは速度変換でなく、
消費電力[ワット]を表す関数であれば、積分は電力量[ジュールまたはワット時]になりますし、加速度を表す関数変換であれば、積分は速度の増加分になります（減少の場合は積分がマイナスになる）。

log(f(x))やjog(f(t))の積分が何を意味するかは
f(x)やf(t)の関数の演算子fが何を表す関数かによって
log(f(x))やjog(f(t))の積分が何を意味するかは変わってきますし、そのような変換が意味を成さないことも出てきます。

質問者さんの質問は
以下の関数の積分が何を意味するかという質問と似ていて、積分が何を意味するか、何も意味しないかは、
関数演算子にどのような意味づけをするかに関わってきますので、形式的にだけ関数演算を行う演算子fを使った関数や、2重に関数変換をする演算子g(f(x))を使った関数の積分が何を表すかは演算子g,fによって決まるのであって、知っている関数演算子（log,sin,tan,exp,その他）を使ったら、積分の意味づけが出来るという性質のものではないです。

f,g(質問の場合はlog)を形式的に形だけ既知の関数を持ってきてもその積分が何を表すかは決まる分けはないですね。f,gの演算子にどんな意味づけを割り当てるかによって、積分が何になるかが決まってくるわけです。

sin{f(x)},tan{f(t)}
e^f(x),e^f(t)
{f(x)}^5,{f(t)}^6

これらの演算を、fが何を表す関数演算子か定められていない任意関数f(x)に対して適用した、2重の関数が何を表すかが確定していない以上、その積分が何を表すか一概に「何々」ですということは不可能（決められない）ですね。

お礼

つまり、深く考えなくていい、と言うことでしょうね。ありがとうございます。