自由落下の式の変形について

質問

物体が自由落下するときの式の導出について、よくわからないところがあるので質問させてください。
地球上で物体が自由落下するときの速度の式は
v=gt ・・・式①

地球上で物体が自由落下したときの距離（高さ）の式は
y=1/2gt^2・・・式②

これは投下速度直線運動の式から導出できます。
速度
v=v0+at・・・式③
移動距離
x=v0t+1/2at^2・・・式④
からそれぞれ初速を0として
③→①
④→②
になるのはわかります。

ですが、式①→②に変形しようとすると、v=y/tとして
y=gt^2
になってしまいます。これは明らかにおかしいですし、実際vはどんどん変化していくので、固定値y/tを入れてはいけないのもなんとなくわかります。質問は２つあります。

質問1. この場合、vに入れるべきは平均速度と思われますが、文字式として入れてもいいような表記になっているのはなぜなんでしょうか？v=x/tとv=gtのvは扱いというか性質が違うのでしょうか？

質問2. このような齟齬が生じる根本的な原因を、一言で表現するにはどのような表現があるでしょうか？イメージとしては「v=gtは微分方程式なので厳密にはスカラ値を入れることはできない」とか「v=gtは時間微分、v=x/tは代数方程式なのでそのまま変換はできない」みたいな表現です（微分方程式もスカラ値というものも知らないので、完全にイメージだけで書いてます）。

よろしくおねがいします。

回答No.1

CygnusX1 · ベストアンサー

質問1
v も x も t も全部変数です。g は定数。
v = g t の v は時間 t における瞬間速度です。
v = x / t の v は t 秒間に移動した距離 x の平均測度となります。

質問2
v が刻々と変化する変数であるものを一定の値(平均値?)と考えていること。
t1 の時に速度 v1 = g t1 で、t2 になった時の測度を v2 = g t2とすると、
その間に移動する距離 y は
y = ((v1 + v2) / 2 )(t2 - t1) = (1/2)(g t1 + g t2) (t2 - t1)
= (1/2) g (t1 + t2) (t2 - t1)
= (1/2) g ( t2^2 - t1^2)
となります。
(t2 - t1) を小さくして、何回も繰り返すことで落下する距離が求められます。
これが積分です。

お礼

ありがとうございます。
よくわかりました。
同じ速度vでも瞬間速度と平均速度で違うのに、意味も考えずに記号としてだけ見たのが勘違いの元ですね。