微分の問題

質問

sin-1　1/x

tan-1 1/x

上記の導出方法を教えて下さい。
よろしくお願いします！

回答No.3

yyssaa · ベストアンサー

補足
sin-1　1/xの微分についてなんですが、持ってる問題集の回答には
-1/{絶対値のx√(x^2-1)}というふうに
Ｘが絶対値になっているんですこれはなんででしょうか。

＞失礼しました。当方のミスです。
前回の回答で
cosy=√(1-sin^2y)=√(1-1/x^2)=(1/x)√(x^2-1)
としましたが、正しくは
cosy=√(1-sin^2y)=√(1-1/x^2)=√{(1/x^2)(x^2-1)}
=(1/√x^2)√(x^2-1)=(1/|x|)√(x^2-1)です。
(aを実数とすると√a^2=aではなく√a^2=|a|をうっかり
していました)
従って、そのあとも
dy/dx=(-1/x^2)/{(1/|x|)√(x^2-1)}=-|x|/{x^2√(x^2-1)}
=-1/{|x|√(x^2-1)}になります。
(aを実数とするとa^2/|a|=|a|です)

お礼

分かりやすい解答ありがとうございました。

疑問が解消できて良かったです。

回答No.4

info222_

No.2です。

ANo.2の「y=sin^-1(1/x)の微分」の答えは

y'=-1/(x^2*√(1-(1/x)^2)) …（★）

と書き、ここで止め（答）としましたが、
絶対値を使って

y'=-1/(x^2*√((x^2-1)/x^2))
　=-1/(x^2*((√(x^2-1))/√(x^2))
　=-1/(x^2*((√(x^2-1))/|x|)
　=-|x|/(x^2*(√(x^2-1)))
　=-1/(|x|√(x^2-1))　…(※)
ここで、ANo.2xでも書いたように(暗黙の)定義域はx<-1, 1<xです。
　暗黙のというのは、sin^-1(1/x)自体が実数域で定義される場合のxの範囲です。

（★）と同値な答が（※）です。

ANo.1のおよびその補足に書かれている
　y'=-1/(x√(x^2-1))
は　x>1では正しいですが、x<-1では間違いです。
なので、ｘの定義域 |x|>1 を通しては
　d/dx { sin^-1(1/x) } = -1/(x√(x^2-1))
は不正解の(答)になります。

(答)としては
(A) -1/(|x|√(x^2-1))　(ただし|x|>1)
(B) -1/(x^2*√(1-(1/x^2))) or -1/(x^2*√(1-(1/x)^2)) (ただし|x|>1)
(C) x>1のとき　-1/(x√(x^2-1)), x<-1のとき　1/(x√(x^2-1))
のいずれかが正しい(答)でしょう。

[注] (B)と(C)は絶対値を使わない(答)、(C)は場合分けした(答)です。
なお、(答)にxの定義域(|x|>1または「x<-1またはx>1」を付けた方が丁寧な(答)と言えるでしょう。書かなけれな、あたかもsin^-1(1/x)の定義域に気がついていないで、(答）の微分の式が定義域以外の|x|≦1でも(答)が正しいと受け取られるおそれがあります。
あるいは、
積極的に
(答)
　|x|≦1のとき　微分は存在しない。
　|x|>1のとき　-1/(|x|√(x^2-1))
と書くべきかもしれません。

回答No.2

info222_

[設問1]
y=sin^-1(1/x) (-π/2≦y≦π/2,|x|≧1) とおくと
　sin(y)=1/x …(1), cos(y)≧0, cos(y)=√(1-(1/x)^2)
(1)の両辺をxで微分すると
　cos(y) y' =-1/x^2
　y'=-1/(x^2√(1-(1/x)^2)) …(答)

[設問2]
y=tan^-1(1/x) (-π/2≦y≦π/2) とおくと
　tan(y)=1/x …(1) , cos(y)≧0,
　cos(y)=1/√(1+tan^2(y))=1/√(1+(1/x)^2)
(1)の両辺をxで微分すると
　sec^2(y) y' =-1/x^2
　y'=-cos^2(y)/x^2=-1/(x^2(1+(1/x)^2)
　y'=-1/(1+x^2) …(答)

回答No.1

yyssaa

＞sin-1　1/x、tan-1 1/xをxで微分するのなら

y=sin^(-1)1/xとおき、
1/x=siny
(-1/x^2)dx=cosydy
dy/dx=(-1/x^2)/cosy
cosy=√(1-sin^2y)=√(1-1/x^2)=(1/x)√(x^2-1)
dy/dx=(-1/x^2)/{(1/x)√(x^2-1)}=-1/{x√(x^2-1)}

y=tan^(-1)1/xとおき、
1/x=tany=siny/cosy
(-1/x^2)dx=}(cos^2y+sin^2y)/cos^2y}dy=(1/cos^2y)dy
dy/dx=(-1/x^2)cos^2y
1/x^2=sin^2y/cos^2y=(1-cos^2y)/cos^2y=1/cos^2y-1
cos^2y=x^2/(1+x^2)
dy/dx=(-1/x^2)cos^2y=-1/(1+x^2)

補足

sin-1　1/xの微分についてなんですが、持ってる問題集の回答には

-1/{絶対値のx√(x^2-1)}というふうに
Ｘが絶対値になっているんですこれはなんででしょうか。

教えていただけると嬉しいです。