複素関数

質問

解き方（過程）を教えてください。
関数w=1/z' (z'は共役複素数)について
円|z-3i|=1はどんな図形にうつるか？

答え・・・円|w-(3/8)i|=1/8

z=x+iy, z'=x-iy ,w=u+ivとおいて
x=u/(u^2+v^2), y=v/(u^2+v^2)となり
これを|z-3i|=1に代入しましたがうまく解けません。

回答No.1

ereserve67 · ベストアンサー

こういうのは実部虚部に分けないことです．そのままやるのです．(z'ではなくz^*と書きます）

w=1/z^*,z^*=1/w

∴z=1/w^*

これを|z-3i|=1に代入すると

|1/w^*-3i|=1⇔(1/w+3i)(1/w^*-3i)=1

1/|w|^2+3i/w^*-3i/w+8=0

両辺に|w|^2=ww^*をかけると

1+3iw-3iw^*+8ww^*=0

w^*w-(3i/8)w^*+(3i/8)w+1/8=0

(w^*+3i/8)(w-3i/8)=-1/8+9/64=1/64

|w-3i/8|=1/8