Σa[n]／Σb[n]に関する不等式

質問

a[1]、a[2]、・・・、a[n]∈Z、
b[1]、b[2]、・・・、b[n]∈N、
のとき、

（a[1]＋a[2]＋・・・＋a[n]）／（b[1]＋b[2]＋・・・＋b[n]）

は、a[1]／b[1]、a[2]／b[2]、・・・、a[n]／b[n]の最大なものと最小なものの間にある。

この証明を教えていただけないでしょうか。

回答No.5

178-tall

>a[1]、a[2]、・・・、a[n]∈Z、
>b[1]、b[2]、・・・、b[n]∈N、
>のとき、
>a[1]／b[1]=c[1]、a[2]／b[2]=c[2]、・・・、a[n]／b[n]=c[n]　とおき、
>c[1]≦c[2]≦・・・≦c[n]　としておくと、
>（a[1]＋a[2]＋・・・＋a[n]）／（b[1]＋b[2]＋・・・＋b[n]）　＝（b[1]c[1]＋b[2]c[2]＋・・・＋b[n]c[n]）／（b[1]＋b[2]＋・・・＋b[n]）
>は、点c[1]、c[2]、・・・、c[n]の重み付き重心なので、線分の内部にあるのですね。

当方は、そこまでの意味づけなんぞ意識してませんでした。

「降順に整列したものとしても一般性を失わない」ようなので、整列したと想定し分母/分母の加算したものについて引き算してみれば「大小順序」を確認できるだろう、という小学児童レベルの手口を書いてみました。

ANo.4 さんの

>M = max ak/bk,
>m = min ak/bk
>とおけば
>m b1 ≦ a1 ≦ M b1,
>m b2 ≦ a2 ≦ M b2,
>...,
>m bn ≦ an ≦ M bn

の総和から、
　mΣbk ≦ Σak ≦ MΣbk
　　　　↓
　m ≦ Σak/Σbk ≦ M
と「一網打尽」するほうが、はるかに鮮やかな手口でしょうネ。

回答No.4

Tacosan

本気で蛇足.

b の方の条件は「正」が必要で, これが成り立てば「N」という制限は不要. で
M = max ak/bk,
m = min ak/bk
とおけば
m b1 ≦ a1 ≦ M b1,
m b2 ≦ a2 ≦ M b2,
...,
m bn ≦ an ≦ M bn.

回答No.3

178-tall

蛇足のレスでス。

>ak/bk は値の降順に整列したものとしても一般性を失わないだろう。
整列された ak/bk の個数が有限なら、何個だろうが同じ論法により「帰納」できそう。

まったくの蛇足だが、a1/b1≧a2/b2≧a3/b3 の一例…。

前半 (a1/b1≧a2/b2) 。
a1b2 - b1a2≧0　だから、a1/b1≧(a1+a2)/(b1+b2)≧a2/b2 。
[略証] a1/b1 - (a1+a2)/(b1+b2) = {a1(b1+b2) - b1(a1+a2) } / {(a1+a2)/{b1(b1+b2) } = (a1b2 - b1a2) / {(a1+a2)/{b1(b1+b2) }≧0 。
同様に、(a1+a2)/(b1+b2) - a2/b2 = { (a1+a2)b2 - {a2(b1+b2) }/{b2(B1+b2) } = (a1b2 - b1a2)/{b2(B1+b2) }≧0 。

後半 (a2/b2≧a3/b3) 。
(a1+a2)/(b1+b2) (≧a2/b2) ≧a3/b3　だから、(a1+a2)/(b1+b2)≧(a1+a2+a3)/(b1+b2+b3)≧a3/b3 。
前半 [略証] と同様の論法にて証明できそう…。

回答No.2

Tacosan

M = max a[k]/b[k] とおいて a[?] を b[?] で表せばいい.

回答No.1

178-tall

Z は実数、N は自然数だろう。
また、ak/bk は値の降順に整列したものとしても一般性を失わないだろう。

そこで、a1/b1≧an/bn → a1/b1≧(a1+an)/(b1+bn)≧an/bn を示せばよさそう。
前半だけでも…。

まず前提から、
　a1bn - b1an≧0

前半について、
　a1/b1 - (a1+an)/(b1+bn) = {a1(b1+bn) - b1(a1+an) } / {(a1+an)/{b1(b1+bn) }
　= (a1bn - b1an) / {(a1+an)/{b1(b1+bn) }≧0

…てな調子でいけそうです。

お礼

ありがとうございます。

a[1]、a[2]、・・・、a[n]∈Z、
b[1]、b[2]、・・・、b[n]∈N、
のとき、

a[1]／b[1]=c[1]、a[2]／b[2]=c[2]、・・・、a[n]／b[n]=c[n]
とおき、c[1]≦c[2]≦・・・≦c[n]
としておくと、

（a[1]＋a[2]＋・・・＋a[n]）／（b[1]＋b[2]＋・・・＋b[n]）
＝（b[1]c[1]＋b[2]c[2]＋・・・＋b[n]c[n]）／（b[1]＋b[2]＋・・・＋b[n]）

は、点c[1]、c[2]、・・・、c[n]の重み付き重心なので、線分の内部にあるのですね。