a^n - b^n

質問

a^n - b^n = (a - b) (a^(n-1) + a^(n-2)b + a^(n-3)b^2 + … + ab^(n-2) + b^(n-1))となるみたいですがこれをうまく証明できないですか？

回答No.5

alice_44 · ベストアンサー

等式の証明は、字面が複雑な方から単純な方へと
式変形してゆくのが、基本ですよ。そっちの道が、
一本道だからね。

この問題を、敢えて左辺から右辺へ導出したいなら、
両辺を変数 a の多項式と見て、まず、
a=b のとき左辺の値が 0 になることに気づきましょう。
因数定理から、左辺の式は a-b で割り切れる
ことが判ります。その割り算を実行すれば、
右辺の式が得られます。
多項式の割り算は、桁数の多い整数の割り算と
よく似ていますが、慣れていなければ、
「組み立て除法」を google あたりで
探してみるとよいでしょう。

お礼

回答ありがとうございます。確かにａ‐ｂで割ればでてきますね！大変参考になりました。

回答No.7

rnakamra

1-x^nについて考えてみる。

1-x^n　は1-xで割り切れる(因数定理を使い示せる)ので実際に1-xで割ってみる。

(1-x^n)/(1-x)

この式、よく見ると初項1,公比x,項数nの等比数列の和を意味している。
つまり、

(1-x^n)/(1-x)=1+x+x^2+...+x^(n-1)→1-x^n=(1-x){1+x+x^2+...+x^(n-1)}

となります。後は x= b/a として両辺をa^n倍するとご質問の式が導けます。

お礼

なるほど！確かにその方法なら式が導けますね！回答ありがとうございました。

回答No.6

FT56F001

「証明」ではないですが，この恒等式の使い方として

左辺から組み立て除法などで右辺を作る，というのはやってできないことはないけれど，
けっこう面倒な計算になります。
しかし，右辺から左辺は，展開して計算すれば，すぐ分かります。

これを公式として暗記しておいて，左辺を見たら右辺の因数分解を思い出す，
というあたりが，正直なところではないかしら。
(少なくとも私の頭の中では，そうです)

回答No.4

Tacosan

因数定理から a^n-b^n は a-b を因数に持ち a^n-b^n = a^(n-1)(a-b) + a[a^(n-1)-b^(n-1)].

回答No.3

info22_

数学的帰納法を使って証明してみて下さい。
数学的帰納法は教科書や参考書に必ず載っているはずです。

>うまく証明できないですか？
その際、右辺を計算して左辺の式に変形できることを示せばいいと思います。

お礼

そうですね！数学的帰納法なら証明でしますね。

回答No.2

asuncion

例えば、n=1やn=2のとき、その式が正しいことを
どのように論証できるのでしょうか。

補足

すいません。質問には証明と書きましたが正しくはどのように左辺を右辺の形に変形していけばいいのでしょうか？確かに等号が成立するのは分かりますがそのアプローチが分かりません。

回答No.1

gohtraw

a(a^(n-1) + a^(n-2)b + a^(n-3)b^2 + … + ab^(n-2) + b^(n-1))
=a^n+a^(n-1)b+a^(n-2)b^2+・・・・・a^2b^(n-2)+ab^(n-1)

b(a^(n-1) + a^(n-2)b + a^(n-3)b^2 + … + ab^(n-2) + b^(n-1))
=a^(n-1)b+a^(n-2)b^2+a^(n-3)b^3+・・・・・+ab^(n-1)+b^n

という具合に展開すると、
a^(n-1)b+a^(n-2)b^2+・・・・・a^2b^(n-2)+ab^(n-1)
は両者に含まれるので前者から後者をひけばこの部分は消えてしまい、a^n-b^n のみが残ります。

補足

すいません。質問には証明と書きましたが正しくはどのように左辺を右辺の形に変形していけばいいのでしょうか？確かに等号が成立するのは分かりますがそのアプローチが分かりません。