A⊂B を示せ。

質問

A=｛n(n+1)(n+2)｜ｎは自然数｝、B=｛3n ｜nは自然数｝とする。なのですが、単純に１を入れるとA=6、B=3　となり　A⊂B　にはなりえないのですが、どうすれば成り立つと証明できるのでしょうか。
ぜひ教えて下さい。

回答No.3

incd · ベストアンサー

A⊂Bを示すためには、「xがAの要素ならば必ずxはBの要素でもある」ということを証明します。集合の包含関係の証明ではかなり頻繁に使用する方法です。

>単純に１を入れるとA=6、B=3　となり　A⊂B　にはなりえない
集合の記述方法に誤解があるようです。
A=｛n(n+1)(n+2)｜ｎは自然数｝の意味は
Aは「各自然数nに対して、n(n+1)(n+2)の計算結果の集合」であることを意味します。
たとえばn=1のときn(n+1)(n+2)=6なので、6はAの要素です。
n=2,3,...とやっていくと24,60,...もAの要素であることがわかります。

Bについても同様に考えるとn=1,2,3...を代入して、3,6,9,...がBの要素であることがわかります。

証明方法については冒頭の通りですが、今回のケースでは、Bが3の倍数の集合なので、n(n+1)(n+2)が常に3の倍数であることを示せばよいことになります。

回答No.4

nozomilv

こんばんわ

まず集合の表示についてですが。
A={正の数で２の倍数}となっていた場合はどんな集合になるかと言うと
A={2,4,6,8,10・・・}とAの集合の中身はこのようになります。

またこれはA={2n｜nは自然数}と言うような書き方をします。

つまり、Bは単純に正の数で3の倍数の集合を表しています。
なのでBを要素で表すとB={3,6,9,12,15,18・・・}となります。
また同様にn=1,2,3,4と入れてAを要素で表すと
A={6,24,60・・・}となります。
n=1の時で考えるのではなく、集合の要素で考えてやる必要があります。

よってn(n+1)(n+2)が3nに含まれることを証明すればよいことになります。
つまりn(n+1)(n+2)が3の倍数である証明をすればOKです。

お礼

ありがとうございました。助かりました。

回答No.2

koko_u_

>単純に１を入れるとA=6、B=3　となり　A⊂B　にはなりえないのですが
もっとたくさんの n について、A と B の要素を書き出すとよいでしょう。

回答No.1

Quattro99

> 単純に１を入れるとA=6、B=3　となり　A⊂B　にはなりえないのですが
n=1のときだけの集合ではありませんから、その考え方はおかしいです。
Aに書いてあるnとBに書いてあるnは同じものではありません。
例えば、Aのnに1を入れるとそれは6ですが、Bの要素の中にも6はあります（n=2のとき）。

A⊂Bとは集合Aが集合Bに含まれると言うことですが、それは、集合Aの要素はすべて集合Bの要素であるということです。

集合Bの要素の中に、集合Aに含まれないものがあることを示すべきなのかどうかはよくわかりませんので（示すべきのように思いますが）、他の方の回答を見てください（示すには例えば集合Bの要素である3が集合Aには含まれないことを示せばよい）。