A,Bをn次正方行列とする場合、｜A B B A｜＝｜A+B｜｜A-

質問

A,Bをn次正方行列とする場合、｜A B B A｜＝｜A+B｜｜A-B｜を証明したいのですが。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

最初、質問の意味が全く解らなかったのですが、
次の質問 http://okwave.jp/qa/q5907606.html
と見くらべると、どうやら、2n 次の行列式
｜A　　B｜
｜B　　A｜
のことを言っているようですね。それなら、値は
｜A+B｜｜A-B｜
と等しくなります。なるほどね。

行列式の基本変形をしてみましょう。
｜A　　B｜
｜B　　A｜
の第 n+k 列(k = 1 … n) を、それぞれ第 k 列へ加えると、
｜A+B　　B｜
｜B+A　　A｜
となります。更に、
第 k 列(k = 1 … n) を、それぞれ第 n+k 列から引くと、
｜A+B　　B｜
｜O　　A-B｜
です。

このブロック三角行列の行列式が、行列式の積
｜A+B｜｜A-B｜
になることは、Σ を使った行列式の表示
(http://www.snap-tck.com/room04/c01/matrix/matrix08.html
のような…)に、
左下の 0 となる成分を代入してみれば、確認できます。

お礼

ありがとうございます。助かりました。最後のkは行で良いですよね。
こういう問題をひょひょいと解かれるのは、凄い能力ですね。
もしお時間ございましたら、是非、もう一つの方も見て頂けますと凄く助かります。
ウェブで書けなかったのですが、
|A B|
|C D|＝|AD-CB|になります。