ベストアンサー A,Bをn次正方行列とする場合、｜A B B A｜＝｜A+B｜｜A- 2010/05/20 00:22 A,Bをn次正方行列とする場合、｜A B B A｜＝｜A+B｜｜A-B｜を証明したいのですが。 みんなの回答 （1） 専門家の回答 質問者が選んだベストアンサー ベストアンサー alice_44 ベストアンサー率44% (2109/4759) 2010/05/20 12:15 回答No.1 最初、質問の意味が全く解らなかったのですが、 次の質問 http://okwave.jp/qa/q5907606.html と見くらべると、どうやら、2n 次の行列式 ｜A B｜ ｜B A｜ のことを言っているようですね。それなら、値は ｜A+B｜｜A-B｜ と等しくなります。なるほどね。 行列式の基本変形をしてみましょう。 ｜A B｜ ｜B A｜ の第 n+k 列(k = 1 … n) を、それぞれ第 k 列へ加えると、 ｜A+B B｜ ｜B+A A｜ となります。更に、 第 k 列(k = 1 … n) を、それぞれ第 n+k 列から引くと、 ｜A+B B｜ ｜O A-B｜ です。 このブロック三角行列の行列式が、行列式の積 ｜A+B｜｜A-B｜ になることは、Σ を使った行列式の表示 (http://www.snap-tck.com/room04/c01/matrix/matrix08.html のような…)に、 左下の 0 となる成分を代入してみれば、確認できます。 質問者 お礼 2010/05/20 22:29 ありがとうございます。助かりました。最後のkは行で良いですよね。 こういう問題をひょひょいと解かれるのは、凄い能力ですね。 もしお時間ございましたら、是非、もう一つの方も見て頂けますと凄く助かります。 ウェブで書けなかったのですが、 |A B| |C D|＝|AD-CB|になります。 広告を見て全文表示する ログインすると、全ての回答が全文表示されます。 通報する ありがとう 0 カテゴリ 学問・教育数学・算数 関連するQ&A nxn正方行列A, Bについて nxn正方行列A, Bについて、(A+B)^(-1) = A^(-1) + B^(-1)が成り立つ場合 nは偶数であることを証明しなさい。 どこからとっついていいのか全然分かりません（汗。最初の一歩を踏み出すヒント、お願いします。 ｎ次元の正方行列Ａの行列式と、Ａの転置行列Ａ’の行列式が同じであること ｎ次元の正方行列Ａの行列式と、Ａの転置行列Ａ’の行列式が同じであることを、 簡単に証明することはできるのでしょうか？ n次正方行列 n次正方行列で一つの列がすべて０の場合行列式はどんな値になるか？シグマを使った形で表せ。という問題なのですが、０になることはわかるのですが、どのように書き表せるのでしょうか？おねがいします。 n次正方行列で一つの列がすべて０の場合行列式はどんな値になるか？シグマを使った形で表せ。という問題なのですが、０になることはわかるのですが、どのように書き表せるのでしょうか？おねがいします。 天文学のお話。日本ではどのように考えられていた？ OKWAVE コラム AはC上のn次正方行列のとき。 『AはC上のn次正方行列.E_nはn次単位行列,b∈Cとするとき、 1：bはAの固有値である。 2：det(bE_n-A)=0 の二つが同値を示せ』 という問題で、 i）1→2のとき Aの固有ベクトルをxと置く、 Ax＝bx E_nはn次単位行列だから AE_n＝A AE_nx＝Ax＝bx Ax＝bE_nx A＝bE_n このとき次数も等しいから det(bE_n-A)=0. ii）行列(bE_n-A)の次数は0より bE_n-A=0 bE_n=A E_nはn次単位行列 Aはn次正方行列 だから bはAの固有値. この２つから題意は示せますか？ n次正方行列Aが正則であることの定義を述べよ。 n次正方行列Aが正則であることの定義を述べよ。 （逆行列を用いて定義するときは、その定義も述べよ。） という問題があるのですが回答は n次正方行列Aに対して AX=XA=En(n次単位行列） をみたすn次正方行列XがあるときAは正則であるといい、 このときの行列XをA-1（Aインバース）と表して 「Aインバース」と読みAの逆行列という。 これで合ってますか? あと n次正方行列Aが等式A^3+A-E=0を満たすとき、 Aは正則であることを示せ。 またA-1をAおよびEを用いて表せ。 この問題が分かりません。 どなたか宜しくお願いします。 n次正方行列Aに関して次の[１]～[５]はすべて同値であることを証明せよ。 n次正方行列Aに関して次の[１]～[５]はすべて同値であることを証明せよ。 [1] Aは正則 [2] |A|≠0 [3] rank A = n [4] Aのn個の列ベクトルは１次独立。 [5] AB = Eを満たすｎ次正方行列Bが存在する。 [１]→[２] Aが正則であるから、Aには逆行列が存在し、AA^-1＝Eとなる。 |AA^-1|=|E|より、|A||A^-1|＝1≠０となり、|A|≠０であることがわかる。 ∴ Aが正則ならば|A|≠０である。 [２]→[３] P、Qを正則行列として、 PAQ＝(Er 0 0 0) としたとき Aがｎ次正方行列なので、P、Q および右辺の行列もｎ次の正方行列である。 |A|≠０より|PAQ|≠０で(Er 0 0 0)≠０となり、ｒ=ｎなり、rankA=ｎが言える。 ∴ |A|≠０ならば、rankA=ｎである。 [３]→[４] Aがｎ次正方行列でrankA=ｎより、 Aに基本変形を行い階段行列を作っていくと、最終的にｎ行ｎ列の単位行列にできる。 よって、単位行列のｎ個の各列ベクトルは、単位基底であるので１次独立である。 ∴ rankA=ｎならば、Aのｎ個の列ベクトルは１次独立である。 [４]→[５] Aの列ベクトルをa1、a2、・・・、 anとする。 また、x1、x2、・・・・・、xnをスカラーとして、x1a1+x2a2+・・・・+xnan=０・・・(1)とする。 a1、a2、・・・・、anが１次独立であるので、(1)式中のｘi(i=1、2、・・・ｎ）はすべて０となる。 このとき|A|=０であると、ｘiが自明な解以外の解を持ってしまうので |A|≠０である必要がある。|A|≠０であれば、A^-1が存在し、AA^-1=Eとなる。 このとき、A^-1＝Bとすれば、AB=Eとなる。 ∴ Aのｎ個の列ベクトルが1次独立ならば、AB=Eを満たすｎ次正方行列Bが存在する。 [５]→[1] AB=Eより、|A||B|=1 つまり|B|≠０。このことよりBC=Eとなる行列Cが存在する。 C＝EC＝(AB)C＝A（BC)＝AE＝A。 ここで、BA=Eであることがわかる。 AB=EのBとBA=EのBが同じであり、Aに対して、Bが１つしか存在しない。 よって、BがAの逆行列であることがわかる。 Aに逆行列が存在するということは、Aは正則である。 ∴ AB=Eを満たすｎ次正方行列が存在すれば、Aは正則である。 上記のように解いたのですが、証明できていますでしょうか？ アドバイスお願い致します。 ｎ次正方行列の計算 ｎ次正方行列の計算問題です。2次や3次正方行列なら、素直に個々の成分をかけていくだけだと思うのですが、n次になると、どうやって解くのかわかりません。 すみませんが、考えかたと、どういった形で答えを書けばいいのか教えてください。 成分が0のところは消えるので、行列の成分がそのまま特定の位置に 移動することを記述すればいいのだと思うのですが・・・ 以下、問題↓ ２つのｎ次正方行列A、E_ijについてAE_ijおよびE_ijAを求めよ。 ただしE_ijは(i,j)成分のみが1で残りの成分はすべて0である。 （_ijはEの右下につく小さいijです。） |a11 a12 a13 … a1n| |a21 a22 a23 … a2n| A=|a31 a32 a33 … a3n| |： ： ： … ： | |an1 an2 an3 … ann| (j) ∨ | : | | : | E_ij=|………:………|<(i) | : | | : | Aを(l,m)型行列、Bを(m,n)型行列にする Aを(l,m)型行列、Bを(m,n)型行列にする （1）ABが正方行列になるとき、積BAも定義され、正方行列になることを示せ （2）ABとBAがともに同じ次数の正方行列となる条件を求めよ この問題をできる人！ 良い解答解説をお待ちしています 2次正方行列について A:2次正方行列，E:単位行列のとき， 「A^3=E ⇒ A^2+A+E=O」 は真ですか？ 真ならば，証明も教えていただきたく思います。 よろしくお願いいたします。 行列でAB=Eの時、Bは一意的に決まるでしょうか？ A がn次正方行列で、Eが単位行列の時、AB=Eが成り立つなら、 n次の正方行列Bは一意的に決まることが証明できるでしょうか？ ｎ次正方行列Ａ＝（ａij)に対してＡ^tの（i,k)成分を書け。さらに ｎ次正方行列Ａ＝（ａij)に対してＡ^tの（i,k)成分を書け。さらにA^tAの(i,j）成分をΣ記号を用いて書け。 この問題は、 Ａ^tの（i,k)成分は(ａik)＿＿＿＿＿＿＿n A^tAの(i,j）成分をΣ記号を用いて書くとΣ ａik でいいのでしょうか？ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿k=1 また、Ａ^t×Ａ＝Bとおくとき、B^t＝Bが成り立つのはなぜでしょうか？ 証明してくださるとありがたいです。 どなたか、回答お願いします。（＿は字数合わせです。）Ａ＾ｔとＢ＾ｔは転置行列です n次正方行列のm乗 Aをn次正方行列とし、E、Oをそれぞれn次単位行列、n次零行列とする。 このとき、正の整数mに対して E-A^m=（E-A）（E+A+A^2+…+A^(m-1)）が成り立つことを示せ。 という問題で、 （右辺）=（E^2）+AE+(A^2)E+…+A^(m-1)-（A+A^2+A^3+…+A^m） =（E+A+A^2+…+A^(m-1)）-（A+A^2+A^3+…+A^m） =E-A^m=（左辺） （証明終） というやり方では、丸はつかないでしょうか？問題集の模範解答では、数学的帰 納法を使っていました。 日本史の転換点？：赤穂浪士、池田屋事件、禁門の変に見る武士の忠義と正義 OKWAVE コラム n次正方行列の問題です n次正方行列をAとし、全ての成分は実数だとして 1.A^3 = E が成り立つ時の|A|の値 2.A^3 = －Eが成り立つときの|A|の値 を求めたいのですが、途中計算等も含めて回答をお願いします。 正則 正方行列 逆行列 正則な正方行列Aについて、Aの逆行列をA^-1とします。 ｜A^-1｜=1/｜A｜ が成り立つ事はどのように証明すればよいのでしょうか？ 以上、ご回答よろしくお願い致します。 ４次正方行列について 線形台数 ４次正方行列Aの行列式の値がNとすると、次の各行列の行列式の値は （１）A＾（－１） （Aのマイナス一乗）の値は１/Nで合ってますか？ 間違ってたら解説お願いします （２）Aの余因子行列の値の求め方も教えてください。 3次正方行列の問題です 次の行列Aに対して、AX=E を満たす３次正方行列Xが存在するならばそれを求めよ。 A=( 1 0 -1) ( 0 2 1) (-2 1 0） ２次正方行列のときのΔの求め方はわかるのですが、３次になるとわからないんです。 どなたか、公式から載せて教えてくださいませんか？ 行列の証明について（A～Aなど） 2つのｎ次正方行列A,Bに対し、P^-1AP＝Bとなるような正則行列Pが存在するとき、A～Bで表すとして、 (1)A～A (2)A～BならB～A (3)『A～BかつB～C』ならA～C (1)～(3)が成り立つ事を証明しなければいけないのですが、 そもそもA～Aの『～』の意味が理解できません。 例えば(1)の問題であれば P^-1AP＝Aということなのかどうか。 もしP^-1AP＝Aということだとした場合に 左辺が対角化されているので右辺はAの固有値を含む行列になっていると思うのです。 Aの行列を (a b) (c d) として（本当は１つの()の中にabcdを書きたいのですができないため()が２つになっています。） Aの固有値がｘ、ｙとなれば右辺は (ｘ ０) (０ ｙ)のようになると思うので P^-1AP＝Aという式は成り立たないと思いました。 しかし問題は成り立つ事を証明しろ、なので 僕の考え方が間違っていると思います。 この証明の正しい解き方を『～』の意味を含めご教授して頂けないでしょうか。 よろしくお願いします。 成分が行列(?)の行列式の証明について． 成分が行列(?)の行列式の証明について． 画像添付が失敗してしまったようで再掲です．すみません． ---問題ここから--- Aがm次の正方行列，Bがm行n列の行列，Cがn次の正方行列，Oがn行m列のゼロ行列の時， |A B| |O C| = |A||C| を示せ． ---問題ここまで--- という問題です．(実際の問題文の画像を添付しました．) まさか2次正方行列の公式を使って示したことにはならないでしょうし， 左辺を1行で余因子展開して A|C|-B|O|=A|C| としてみたのですが，これでは右辺と等しいとは言えませんよね． 成分が行列の行列式ってどう計算したらよいのでしょうか，やり方がわからずハマってしまいました．．． どなたか解答の方針を教えて頂けませんか？ 行列でA^nを求める問題です。 B1=(cosθ) (sinθ) B2=(cosθ sinθ) C1=（-sinθ) ( cosθ) C2=(-sinθ cosθ) （わかりにくくて申し訳ありませんが、B1,C1は2×1行列 B2,C2は1×2行列を表しています。） a,bは0でない実数として、２次の正方行列AがA=aB1B2+bC1C2で表されているものとする。 A^n を求めよ。 という問題です。 正答はa^n B1B2 + b^n C1C2 になるそうです。 実際に代入して A=(acosθ^2+bsinθ^2 acosθsinθ-bsinθcosθ) (acosθsinθ-bsinθcosθ asinθ^2+bcosθ^2 ） を求めてみたりはしたのですが、そこからどう正答に持っていくかがわかりません。 お暇な時にでもご回答よろしくお願いします ２次の正方行列の問題 数学素人です。ご教授下さい。 A＾２＝０を満たす２次正方正方行列Aを求めよ。ただしA＝０ではない。 注目のQ&A 「You」や「I」が入った曲といえば？ Part2 結婚について考えていない大学生の彼氏について 関東の方に聞きたいです 大阪万博について 駅の清涼飲料水自販機 不倫の慰謝料の請求について 新型コロナウイルスがもたらした功績について教えて 旧姓を使う理由。 回復メディアの保存方法 好きな人を諦める方法 小諸市（長野県）在住でスキーやスノボをする方の用具 カテゴリ 学問・教育 人文・社会科学 語学 自然科学 数学・算数 応用科学（農工医） 学校 受験・進学 留学 その他（学問・教育） カテゴリ一覧を見る OKWAVE コラム 突然のトラブル？プリンター・メール・LINE編 携帯料金を賢く見直す！格安SIMと端末選びのポイントは？ 友達って必要？友情って何だろう 大震災時の現実とは？私たちができる備え 「結婚相談所は恥ずかしい」は時代遅れ！負け組の誤解と出会いの掴み方 あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVE セレクト コスメ化粧品 化粧水・クレンジングなど 健康食品・サプリ コンブチャなど バス用品 入浴剤・アミノ酸シャンプーなど スマホアプリ マッチングアプリなど ヘアケア 白髪染めヘアカラーなど インターネット回線 プロバイダ、光回線など
お礼
ありがとうございます。助かりました。最後のkは行で良いですよね。 こういう問題をひょひょいと解かれるのは、凄い能力ですね。 もしお時間ございましたら、是非、もう一つの方も見て頂けますと凄く助かります。 ウェブで書けなかったのですが、 |A B| |C D|＝|AD-CB|になります。