4STEP数学Aの19(1)で困ってます!(；

質問

4STEP数学Aの問題番号19の(1)の解説が意味不明なのですがどういうことでしょうか?
※n(A∩B)が最大となるのは分かるので省略いたします。

「海外旅行者全体の集合をUとしてかぜ薬を携帯した人の集合をA、胃薬を持った人の集合をBとするとn(U)=100、n(A)=75人、n(B)=80人
n(A∩B)が最小になるには
n(A∩B)=n(A)+n(B)-n(A∪B)=155-n(A∪B)
よってn(A∩B)が最小になるのはn(A∪B)が最大の時である。
また、n(A)+n(B)=155＞n(U)であることから、n(A∪B)が最大にあるのはA∪B=Uのときである。すなわちn(A∩B)が最小になる時がA∪B=Uのときである。」

と書かれているわけなのですが、なんでn(A∪B)が最大になるのがA∪B=Uの時だと、n(A∩B)の最小がA∪B=Uの時であると判るのでしょうか？教えてください!!

回答No.2

sinisorsa

n(A∪B）＝n(A)＋n(B)－n(A∩B)
は分かりますか。
これから、n(A∩B)=n(A)+n(B)-n(A∪B)が出ますね。
（１）集合Uの任意の部分集合Cに対して、０≦n(C)≦n(U)＝１００
（２）集合Uの任意の部分集合A,Bについて、A⊆Bならばn(A)≦n(B)
（３）集合Uの任意の部分集合A,Bについて、A∪B⊆U
（４）n(A∪B)≦n(U)＝１００（最大値）
　　　n(A∪B)＝１００なら、A∪B＝U
これらを理解できますか。

お礼

まあ、なんとか理解できそうな感じがいたします。
はじめて質問したので、緊張しましたがここまで砕いた感じで回答していただけるとは思わなかったです。

補足

sinisorsaさんの説明を理解したうえでベン図を書いて問題を解いたらちゃんと解けました、感謝してます。

回答No.1

gohtraw

長さ７５ミリと８０ミリの紙テープがあると思って下さい。それぞれＡとＢに当たります。これらを重ね合わせて、全体の長さが１００ミリ以下になるようにします。紙テープが重なった部分は両方の薬を持った人ですね。一方、１００ミリに満たない部分はどちらも持っていない人です。
　全体が１００ミリ以下を守りながら、紙テープをいろいろずらしてみます。重なり部分が最大になるのはどんな時でしょう？重なりを最小にしようとしたら、どうすればいいでしょう？
　式だけ見ていてもなかなかイメージできないものです。図を書いたり、上記のような方法を使ったりして眼に見える形で表わしてみると判りやすくなると思います。

お礼

非常に良い例えで分かりやすいです！
頑張って解けそうな気がします。