大学の微分積分IIの問題です。

質問

私はさっぱりわからないので
なるべく詳細に解説して頂けると
ありがたいです！
よろしくお願いします。
(1)
f(x,y)=[(1/√2πx)e^{-(1-y)^2/2x}][(1/√2πx)e^{-( 2-y)^2/2x}]
x>0,y>0の最大値を与えるx,yを求めよ。

(2)
領域{(t,x):|x|<t}において
u(t,x)=v(√(t^2-x^2)が波動方程式
(∂^2/∂t^2)u(t,x)=(∂^2/∂x^2)u(t,x)を満たしている。
一変数関数v(x)はどのような関数か求めよ。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

大学の課題は自分で努力して問題を解くのが基本です。
さっぱりわからないなら諦めるしかないですね。

[1]について
参考URLに解き方が載っていますので熟読して解いてみてください。
ttp://www.math.nagoya-u.ac.jp/~m03039e/Teach/autumn/yonezawa-1W12-04.pdf

解き方の骨子だけ
f(x,y)=(1/(2πx))exp(-((y-1)^2+(y-2)^2)/(2x)^2)
停留点は　fx(x,y)=0, fy(x,y)=0より
　2y^2-6y-2x+5=0, 2y-3=0 ∴(x,y)=(1/4,3/2)
(x,y)=(1/4,3/2)のとき
A=fxx(x,y)=-32/(eπ)<0
B=fxy(x,y)=0
C=fyy(x,y)=-16/(eπ)
H=AC-B^2=512/(eπ)^2>0
参考URLの【２階偏導関数による極値の判定法】より
(x,y)=(1/4,3/2)のとき 極大値f(1/4,3/2)=2/(eπ)
x>0,y>0で停留点は(1/4,3/2)１個のみ。
この１個の停留点でf(x,y)は極大値をとり、他に停留点は存在しないから
他に極大値や極小値は存在しない。したがって、
ただ１つの極大値f(1/4,3/2)=2/(eπ)がf(x,y)の最大値2/(eπ)となる。

途中計算は、自力でやってみてください。
とりあえずここまで。

参考URL：

http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~m03039e/Teach/autumn/yonezawa-1W12-04.pdf

回答No.3

info22_

No.1です。

[2]について

u(t,x)=v(√(t^2-x^2))

∂^2/∂t^2 u(t,x)=∂/∂t (v' t/√(t^2-x^2))
=v'' t^2/(t^2-x^2)+v' √(t^2-x^2)/(t^2-x^2)
-t^2v' √(t^2-x^2)/(t^2-x^2)^2
=v'' t^2/(t^2-x^2)-x^2v' √(t^2-x^2)/(t^2-x^2)^2

∂^2/∂x^2 u(t,x)=∂/∂x (-v' x/√(t^2-x^2))
=v'' x^2/(t^2-x^2)-v' √(t^2-x^2)/(t^2-x^2)
-x^2v' √(t^2-x^2)/(t^2-x^2)^2
=v'' x^2/(t^2-x^2)-t^2v' √(t^2-x^2)/(t^2-x^2)^2

v'' +v' /√(t^2-x^2)=0
v''=-v' /√(t^2-x^2)
v''/v'=-1/√(t^2-x^2)
v''(p)/v'(p)=-1/p
ln(|v'(p)|)=-ln(|p|)+c
|v'(p)p|=e^c
v'(p)=±(1/p)e^c
v(p)=±log(|p|)*e^c+c2
pを改めてx, ±e^c=c1とおくと
v(x)=c1*log(|x|)+c2　...(答え)

回答No.2

spring135

(1) f(x,y)=[(1/√2πx)e^{-(1-y)^2/2x}][(1/√2πx)e^{-( 2-y)^2/2x}]

これは平均1,変動xの正規分布と平均2、変動xの正規分布の共通事象の発生確率の期待値を求める問題。

答えは明らかにy=(1+2)/2=1.5、ともあれ真面目に

f(x,y)=(1/2πx)e^{-[(1-y)^2+(2-y)^2]/2x}=(1/2πx)e^{-[2(y-3/2)^2+1/2]}/2x

g(x,y={-[2(y-3/2)^2+1/2]/2x}とおくと

f(x,y)=(1/2πx)e^g(x,y)

∂f(x,y)/∂y=(1/2πx)e^g(x,y)∂g(x,y)/∂y=(1/2πx)e^g(x,y)[-4(y-3/2)/2x]=0

y=3/2

∂f(x,y)/∂x=(1/2π)[-x^(-2)e^g(x,y)+x^(-1)e^g(x,y)∂g(x,y)/∂x]

=(1/2πx)e^g(x,y)[-x^(-2)+(-1){-[2(y-3/2)^2+1/2]/2]x^(-2)]

=(1/2πx)e^g(x,y)[2(y-3/2)^2+1/2]-2x]/(2x^3)=0

x=1/4

(2)
領域{(t,x):|x|<t}において
u(t,x)=v(√(t^2-x^2)が波動方程式
(∂^2/∂t^2)u(t,x)=(∂^2/∂x^2)u(t,x)を満たしている。

p=√(t^2-x^2)とおく。

u=v(p),後で使うので∂p/∂t,∂p/∂x,∂^2p/∂t^2,∂^2p/∂x^2を求めておく。

∂p/∂t=t(t^2-x^2)^(-1/2), ∂p/∂x=-x(t^2-x^2)^(-1/2)

∂^2p/∂t^2=-x^2(t^2-x^2)^(-3/2), ∂^2p/∂x^2=-t^2(t^2-x^2)^(-3/2)

∂u/∂t=(∂p/∂t)(dv/dp)

∂^2u/∂t^2=(∂/∂t)[(∂p/∂t)(dv/dp)]=(∂^2p/∂t^2)(dv/dp)+(∂p/∂t)(∂/∂t)(dv/dp)

=(∂^2p/∂t^2)(dv/dp)+(∂p/∂t)^2(d^2v/dp^2) (1)

同様に

∂u/∂t=(∂p/∂t)(dv/dp)=(∂^2p/∂x^2)(dv/dp)+(∂p/∂x)^2(d^2v/dp^2)　　(2)

(1)＝(2)より

[(∂^2p/∂t^2)-(∂^2p/∂x^2)]dv/dp)+[(∂p/∂t)^2-(∂p/∂x)^2](d^2v/dp^2)=0

∂p/∂t=t(t^2-x^2)^(-1/2), ∂p/∂x=-x(t^2-x^2)^(-1/2)

∂^2p/∂t^2=-x^2(t^2-x^2)^(-3/2), ∂^2p/∂x^2=-t^2(t^2-x^2)^(-3/2)

を代入して

整理すると

d^2v/dp^2+(1/p)(dv/dp)=0

q=dv/dpとおくと

dq/dp+q/p=0

dq/q=-dp/p

log(q)=-log(p)+c

pq=c

q=dv/dp=c/p

dv=cdp/p

v=clog(p)+d=clog(t^2-x^2)+d