微分積分の問題

質問

xy座標において区間[(-11/2)π,(-3/2)π]を定義域とする関数y=cosxのグラフとx軸とで囲まれる領域をx軸を中心に回転させてできる回転体の体積を求めなさい。
宜しくお願いします。

回答No.3

info22_

y=cos(x)は図のように周期2πの関数であり
区間[(-11/2)π,(-3/2)π]は２周期にあたるから
回転体の体積Vは回転体の対称性から
　V=π∫[(-11/2)π,(-3/2)π](cos(x))^2dx
　 =8π∫[-2π,(-3/2)π](cos(x))^2 dx
　 =8π∫[0,π/2](cos(x))^2 dx
　 =4π∫[0,π/2](1+cos(2x)) dx
　 =4π(π/2)
　 =2π^2

回答No.2

sphenis

式は#1さんが書いてくださっているので、私は考え方の方を。

できる回転体をx軸に垂直に輪切りにしてみると、切り口は円になりますね。
切った位置のx座標をa、f(x)=cosxとしたとき、この円の半径がf(a)になることは分かりますか？
半径がf(a)ですから、円の面積はπ(f(a)^2)です。
求める回転体はこれが(-11/2π)から(-3/2π)までびっっっっしり集まったものですから、体積を出すにはπ(f(x)^2)、すなわちπ(cosx)^2を(-11/2π)から(-3/2π)まで積分すれば良いのです。

厳密に考えると相当いい加減な説明ですが、イメージとしてはこんな感じです。
数式による解説なんかは、調べたら色々出てくるのではないでしょうか。

回答No.1

yyssaa

回転体の体積=∫［(-11/2)π→ (-3/2)π］πcos^2xdx
=π［(x/2)+(1/4)sin2x］［(-11/2)π→ (-3/2)π］=2π^2