大学の数学の問題です

質問

t,p,q>0とする。広義積分

Γ(t)=∫(0~∞)e^(-x)x^(t-1)dx, B(p,q)=∫(0~1)x^(p-1)(1-x)^(q-1)dx
をそれぞれガンマ関数,ベータ関数という。

(1)変数変換 x=u-uv, y=uvによって、次の式を証明せよ。
∫(0~∞)∫(0~∞)e^(-x-y)x^(p-1)y^(q-1)dxdy=∫(0~∞)e^(-u)u^(p+q-1)du ∫(0~1)v^(q-1)(1-v)^(p-1)dv

(2)B(p,q)=Γ(p)Γ(q)/Γ(p+q)を示せ。

教えていただけると嬉しいです。

回答No.1

Ae610

0＜x,0＜yは独立であるので、積分の変数を分離出来て
∫(0→∞)∫(0→∞){e^(-x-y)x^(p-1)y^(q-1)}dxdy
= ∫(0→∞){e^(-x)・x^(p-1)}dx・∫(0→∞){e^(-y)・y^(q-1)}dy
= Γ(p)・Γ(q)・・・(1)

一方、変数変換により
x = u(1-v) , y = uv
とするとu,vの動く領域は0＜u＜∞ , 0＜v＜1
ヤコビアン|J| = u (≠0)
∫(0→∞)∫(0→∞){e^(-x-y)x^(p-1)y^(q-1)}dxdy
= ∫(0→1)∫(0→∞){e^(-u)[u(1-v)]^(p-1)・(uv)^(q-1)}ududv
= ∫(0→1){(1-v)^(p-1)・v^(q-1)}dv・∫(0→∞){e^(-u)・u^(p+q-1)}
= B(q,p)・Γ(p+q)
= B(p,q)・Γ(p+q)・・・(2)
(1)=(2)より
B(p,q) = Γ(p)・Γ(q)/Γ(p+q)

お礼

回答ありがとうございます。
理解出来ました。
とても助かりました。