数学１三角関数

質問

円に内接する四角形abcdはab=bc=√3 cd=1 <adc=120°

Q四角形abcdの内接円の半径

を求める問題なんですが、
わかりません。教えて下さい！

回答No.5

shuu_01 · ベストアンサー

既に No.2、No.3 さんが回答していますが、僕の答えと違うので、僕のも描いておきます

まず、Np.1 さんのおっしゃるように図を描くのが大事です

ところが、AB ＝ √3 を描いた後、BC を描こうとして、どっちの方向に描いて良いのか悩みました

そこで、思いついたのが、円に内接する四角形の対角の和は 180°ということです

∠ADC ＝ 120°ですので

∠ADC +　∠ABC ＝ 180°

120° +　∠ABC ＝ 180°

∠ABC ＝ 60° とわかり、AB、BC を描くことができます

次に CD を描くとき、CD ＝ 1 とわかっていても、どちらの方向に描いて良いか悩みました

でも、すぐ CD を描かなくても、ABC が描けたら、それに外接する円を描け、

その円周上に CD ＝ 1 となるよう、D を置くと良いです

ここで、四角形 ABCD と 外接円が描けました

△ABC を見ると、∠ABC が 60°、AB ＝ BC ＝ √3 の二等辺三角形とわかります
（まぁ、正三角形ってことです）

そうすると、∠ABC を二等分する線は円の中心を通ることになり、
B と反対側の交点を P とおきます

△BCP を考えると、∠CBP は ∠ABC の半分ですので、30°
∠BCP は直径 BP の円周角ですので、90°の直角三角形、

cos ∠CBP ＝ BC/BP

cos 30°＝ √3 / BP

√3/2 ＝ √3 / BP

BP ＝ 2

●　外接円の直径 BP が 2 ですので、外接円の半径は 1 です　

CP ＝ BD sin 30°＝ 2・（1/2） ＝ 1

CD ＝ 1 ですので、P と D は一致しています

次に四角形に内接する円の半径を考えます
（問題文に 四角形 ABCD の内接円の半径と書いてるから
　計算せざるおえませんが、なんか、正直、外接円の
　書き間違えではという気もしてます）

No.2 さんの考え方のとおり、

△BCD の面積は （1/2） √3・1
△ABD も同じ形で同じ面積ですので、
四角形ABCD の面積は √3

四角形の面積は 四角形の各辺 × 内接円の半径 /2
となりますので、内接円の半径を r とおくと

（√3 ＋ √3 ＋ 1 ＋ 1 ） ・ r / 2 ＝ √3

（√3 ＋ 1） r ＝ √3

r ＝ √3 / （√3 ＋ 1）
　＝ √3（√3 － 1） / （√3 ＋ 1）（√3 － 1）
　＝ （3 －√3） / 2

【答え】

内接円の半径は （3 －√3） / 2

外接円の半径は 1

お礼

分かりやすく教えてもらいありがとうございますヽ(*＾ω＾*)ノ
内接円であってます！(1)(2)(3)とあり、(4)の問題だったのです。

回答No.8

shuu_01

No.1、No.7 さん追加説明ありがとうございます

僕の回答が変でお手数をおかけしました

僕も No.7 さんの考えで良いと思います

ただ、他の回答を見ないで、僕が最初に回答したら

「円に内節する四角形と言っておきながら、
　内接円の半径っておかしいな
　書き間違えだろう」

と外接円の半径で答えちゃった可能性が大きいです

No.2、No.3 さんの回答を読んで、仕方なく内接円の
半径、求めちゃいましたが、、、

回答No.7

Cupper-2

なんか変な方向に説明が進んでしまったようで・・・
横着がらずに先に図を示しておきべきだったかなぁ。

内接円と外接円を混同されているようです。

設問は
　　四角形の内接円
ですので四角形の中にできる円について・・ですね。

回答No.6

shuu_01

No.5 です

No.4 さんの答えと違ってしまいましたが

No.4 さんの回答：

｜　四つの三角形の面積の合計=(1/2)*r*(ab+bc+cd+da)
｜　=(1/2)*r*(√3+√3+1+1)=(√3+1)r/2

の計算が違っており、正しくは

｜　四つの三角形の面積の合計=(1/2)*r*(ab+bc+cd+da)
｜　=(1/2)*r*(√3+√3+1+1)=(√3+1)r

です（ / 2 を消し忘れています）

回答No.4

yyssaa

＞∠adcの対角∠abc=180-120=60°
ab=bc=√3だから∠bac=∠bca=(180°-∠abc)/2=60°
よって△abcは正三角形であり、ac=√3。
△acdに余弦定理を適用して、
ac^2=ad^2+cd^2-2*ad*cd*cos120°から
(√3)^2=ad^2+(1)^2-2*ad*(1)*(-1/2)、adで整理して
ad^2+ad-2=0、(ad+2)(ad-1)=0からad=1
よって△acdは二等辺三角形となり
∠dac=∠dca=(180°-∠adc)/2=30°
四角形abcdの面積=△acdの面積+△abcの面積
=(1/2)*ad*ac*sin∠dac+(1/2)*ab*bc*sin∠abc
=(1/2)*1*√3*sin30°+(1/2)*√3*√3*sin60°
=(1/2)*1*√3*(1/2)+(1/2)*√3*√3*(√3/2)
=√3
四角形abcdの内接円の半径をrとすると、この内接円
の中心と各頂点abcdとを結んで出来る四つの三角形は、
四角形abcdの各辺を底辺とし高さがrの三角形になる
ので、
四つの三角形の面積の合計=(1/2)*r*(ab+bc+cd+da)
=(1/2)*r*(√3+√3+1+1)=(√3+1)r/2
これは四角形abcdの面積と等しいので、
(√3+1)r/2=√3、これを解いて
r=2√3/(√3+1)={2√3(√3-1)}/{(√3+1)(√3-1)}
=(2*3-2√3)/(3-1)=3-√3・・・答

回答No.3

gohtraw

#2です。私の回答で、下記の部分は説明不足かな？

ここで角ＡＤＣの二等分線を考え、この直線とＡＢＣＤの外接円
との交点（Ｄでない方）をＥとする。ＣＥに対する円周角は６０°
であり、ＢＣに対する円周角も６０°なので、ＥとＢは一致する。

ここで角ＡＤＣの二等分線を考え、この直線とＡＢＣＤの外接円
との交点（Ｄでない方）をＥとする。ＣＥに対する円周角は６０°
であり、ＢＣに対する円周角も６０°である。等しい円周角に
対する弦の長さは等しいので、ＣＥの長さとＣＢの長さは等しい。
同様に、ＡＥに対する円周角も６０°であるからＡＥの長さも
ＣＢおよびＣＥに等しい。以上よりＥはＡ、Ｂの双方から√３の
距離にある点であり、それはＢに他ならない。

回答No.2

gohtraw

ＡＢＣＤは円に内接しているので、対向する内角の和は１８０°
よって角ＡＢＣは６０°となり、ＡＢ＝ＢＣなので△ＡＢＣは
正三角形。

ここで角ＡＤＣの二等分線を考え、この直線とＡＢＣＤの外接円
との交点（Ｄでない方）をＥとする。ＣＥに対する円周角は６０°
であり、ＢＣに対する円周角も６０°なので、ＥとＢは一致する。

つまり角ＡＢＣの二等分線はＤを通り、角ＤＢＣは３０°なので
角ＢＣＤは９０°。ＡＢＣＤが円に内接しているので角ＤＡＢも
９０°。よって△ＡＢＤとＢＣＤは合同な直角三角形。

以上より、ＡＢＣＤの面積は△ＡＢＤとＢＣＤの面積の和であり、
ＡＢ＝ＢＣ＝√３、ＣＤ＝ＤＡ＝１なのでＡＢＣＤの面積は
１＊√３／２＊２＝√３

ここでＡＢＣＤの内接円の中心をＯとすると、ＯからＡＢＣＤの各辺
に下ろした垂線は同じ長さになる（この垂線が内接円の半径）。

この長さをｄとすると、ＡＢＣＤの面積は△ＯＡＢ、ＯＢＣ、ＯＣＤ、
ＯＤＡの和なので、これをｄを用いて表すと
（ｄ＊√３／２＋ｄ＊１／２）＊２＝ｄ（√３＋１）
これが√３に等しいのだから
ｄ＝√３／（√３＋１）
　＝√３（√３－１）／２

三角関数、要らなかったね。

回答No.1

Cupper-2

とりあえずアドバイスです。

図を描いてみてください。
できるだけ正確にです。（多少曖昧でもOK）

それができなければ何を説明しても無駄と言うか、答えだけを見て納得するだけに終わってしまいます。
（多くの回答者さんは図を示してくれるでしょう。それだけ図が重要と言うことなんです）
なかには図を描かずに問題を解いてしまう人もいますが、その人は頭の中で図をイメージしているんです。

この手の問題に慣れると、よく分からない問題でも図を描いてそこに補助線を描き加えたら
何となく解き方が分かったりするものです。
とりあえず図を描いて、それっぽい補助線を引いてみましょう。

図を描いて補助線を引っ張っても、ピン！と来ない場合は基本的な事柄が分かっていないのだろうと思います。
それについては質問文から察することはできませんので、説明を受けても理解できない点を補足してみてください。
きっと問題を自力で解くために必要な知識が何かを教えてくれるでしょう。

・・・ってことで他力本願な自分からのアドバイスを終わります。