数学III 積分法

質問

数学III - 積分法の範囲の問題です。
以下の問題が解けず、困っております。
どうかアドバイスよろしくお願いします。
特に（２）がわかりません。

（問題）
xy平面において、曲線y=sinx上の点(a, sin a)(0 < a < π/2)と原点とを通る直線をy=mxとする。
（１）定積分 S= ∫0～π/2 |sin x - mx|dxをaの関数として表せ。
（２）Sを最小にするようなaの値を求めよ。

（１）について、
∫0～a (sin x - mx)dx + ∫a～π/2 (mx - sin x)dxとおき、これを求めると、(-ma^2) - (2cos a) + 1 + m/8*π^2となりますので、
f(a) = (-ma^2) - (2cos a) + 1 + m/8*π^2とおいて、
（２）を解くと、
f'(a) = -2ma + 2sin a
f'(a) = 0とすると、
ma = sin aとなり、a=0が最小かと思われたのですが、題意よりaの値は0を含まないので間違いになります。

（１）の解がすでに誤りなのか、それとも（２）において、a=0の他に解が出るのか、どのようにすれば、Sを最小とするようなaの値がでるのかわかりません。
質問が長くなってしまい申し訳ありませんが、適当な解答よろしくお願いします。

回答No.2

dieci · ベストアンサー

解き方の方針はあっているのですが少し早とちりがありますね

(1)で問題分のmxをそのまま使ってしまっていますが
mxのmとはそもそも何でしょうか？
mxは原点と点（a,sin(a)）をつなぐ線ですよね
なのでmはsin(a)/aとなります

このmを(1)で求めた答えに代入して(2)を計算してみると解けると思いますよ

回答No.1

nag0720

mは原点と点(a, sin(a))とを通る直線の傾きだから、
m=sin(a)/a

(1)で求めた式、
f(a) = -ma^2 - 2cos(a) + 1 + m/8*π^2
はさらに、m=sin(a)/a　を代入する必要があります。