数学を教えてください

質問

関数f(θ)=a(cosθ)^2 +(a-b)(sinθ)(cosθ)-b(sinθ)^2の最大値が3+√7,最小値が3-√7となるように,a,bの値を定めよ

回答No.3

pascal3

追加します。

まず確認ですが、問題は正しいですか？
ざっと計算してみたところ、条件を満たす実数 a,b は存在しないように思われるのですが。

それと、質問者は既に倍角公式をチェックされましたか？
この問題のように cos^2 と sin^2 と cos sin が同時に登場する場合、
最初にそれをしないことには、どうしようもないと思います。
これはとにかく自分で教科書を見て確認しておくべきです。

そのあとは、No.2の後半に書かれているのと同じ考え方で、
倍角公式で書きかえたあとの式が
f = F_0 + (p,q)・(cos2θ, sin2θ)
という内積の形であることに気づけば答えはすぐに出るはずです。
もちろん加法定理を逆に使ってcosとsinを合成してもいいですが、
そもそもcosの加法定理そのものが内積や余弦定理とつながっているので、結局は同じことです。

ついでながら

> 微分したらえんでない? θ∈Rなんだから高数程度
> -π≤θ≤πでとれば十分だからあとは増減表を書く

この方針でも、普通にやると、結局は倍角公式が必要になると思うんですが…。

また

> [3] |σ| = |cosθ+sinθ|
> とすっきりあらわせるので、この最大最小を考えれば
> あとは内積の不等式で考えるまでもなく答えが出る

とのことですが、この方針でうまくいくかどうか試してみる
（うまくいかないとしたらなぜなのか考える）のも教育的かもしれません。

なお、さらなる別解として、f を

Q(x,y) = a x^2 + (a-b) x y - b y^2

のような2次形式に x^2 + y^2 = 1 という条件をつけたものと見なし、
F(x,y) = Q － λ(x^2 + y^2 － 1)
の微分をゼロにすることで f の最大値と最小値をさがす方法もあります
（Lagrangeの未定乗数法）。
計算量が増えるので高校数学の解法としてはあまりおすすめできませんが、
別解を知っておくと別の問題に応用できるかもしれないので、
参考までに書いておきます。

回答No.2

zux

pascal3さんの配慮を無駄にして悪いけども

微分したらえんでない? θ∈Rなんだから高数程度
-π≤θ≤πでとれば十分だからあとは増減表を書く

ほかの方法は式変形で

[1] acosθ(cosθ+sinθ)-bsinθ(cosθ+sinθ)

としてから、ab = const を利用して
[1] を2次ベクトルの内積と見て、

σ=(cosθ(cosθ+sinθ),sinθ(cosθ+sinθ))
τ=(a,-b)

とおくと(ただしσとτはベクトル) [1]は

[2] σ・τ (内積)

と表すことができて、さらにσの長さは

(cosθ)^2+(sinθ)^2=1を利用すると

[3] |σ| = |cosθ+sinθ|

とすっきりあらわせるので、この最大最小を考えれば
あとは内積の不等式で考えるまでもなく答えが出る
一応書くとこれのこと

[4] -|σ||τ|≤σ・τ≤|σ||τ|

それから[3]の最大最小だってそもそものこれの考え方みたいに
内積ととらえてしまえば造作もなく答えが出ますよね?

またもや一応(上のやつのヒント的に)

[5] cosθ+sinθ=(1,1)・(cosθ,sinθ)

と変形できるから[4]に

σ=(cosθ,sinθ)
τ=(1,1)

を代入すれば直ちに

[6] -√2 ≤ cosθ+sinθ ≤ √2

回答No.1

pascal3

教科書の倍角公式のところを見て、右辺を2θであらわすことを考えてみよう。
これ以上教えるのは学習の妨害だから、教えない。