続・三角関数の問題

質問

高２です。これは模試の類題です

f(x)=cos2θ-cosθで範囲が0≦θ＜2πのとき

{1}f(x)をcosθであらわし、そのときの最小値をもとめよ
{2}f(x)が最小値のときのθをaとし、
sin{θ+a}-cos{θ+a}の最大値を求めよ

やはり解けません。おねがいします。

回答No.4

take_5 · ベストアンサー

別解を示しておく。

sinθ＝x、cosθ＝yとすると、x＾2＋y＾2＝1　‥‥(1)
この時、条件式は、2つの直線：（√15＋1）x＋（√15-1）y-4Ｐ＝0、と、（√15-1）x＋（√15＋1）y＋4Ｐ＝0が(1)と共有点を持つと良いからこの直線が(1)の円に接する時に最大（最小も同様にすると良い）になる。
従って、点と直線との距離の公式より、｜4Ｐ｜/√Ａ＝1となる。
但し、Ａ＝（√15＋1）＾2＋（√15-1）＾2。
実際に計算すると、Ｐの最大値＝√2。

回答No.3

take_5

ちょっとキズがあるから、訂正しておく。

＞(2)sina＝-√15/4の時、4Ｐ＝（1－√15）*sinθ-（√15＋1）*cosθ＝（4√2）*sin（θ-α）≦4√2　　従って、Ｐ≦√2.

　　　　　　　　　　　　　↓

(2)sina＝-√15/4の時、4Ｐ＝（1－√15）*sinθ-（√15＋1）*cosθ＝-（4√2）*sin（θ＋β）≦4√2　　従って、Ｐ≦√2.

回答No.2

take_5

同じような質問をしてるね。

{1}より、cosa＝1/4から　（cosa）＾2＋（sina）＾2＝1　より　sina＝±√15/4.
Ｐ＝sin（θ+a）-cos（θ+a）＝sinθ*cosa+cosθ*sina-cosθ*cosa+sinθ*sina
(1)sina＝√15/4の時、4Ｐ＝（√15＋1）*sinθ+（√15-1）*cosθ＝（4√2）*sin（θ＋α）≦4√2　　従って、Ｐ≦√2.
(2)sina＝-√15/4の時、4Ｐ＝（1－√15）*sinθ-（√15＋1）*cosθ＝（4√2）*sin（θ-α）≦4√2　　従って、Ｐ≦√2.

以上、いずれにしても、Ｐ≦√2。

計算は自信ないから、チェックしてね。

回答No.1

noname#75273

キチンと計算してないので、会ってるかどうか微妙ですけど。
(1) 倍角の公式より、
　　f(x) = 2(cos θ)^2 - cos θ - 1
　　t = cos θ　とおくと、
　　f(x) = 2t^2 - t - 1　　(- 1 ≦ t ≦ 1)
　　平方完成して、最小となる f(x) を求める。
(2) (1) より、t = 1 / 4
　　⇒ cos a = 1 / 4
　　⇒ sin a = ・・・・・
　　sin{θ+a}-cos{θ+a} 加法定理でくずして計算してみては。