f(x)+∫f(t)=sinxのときf(x)は？

質問

関数f(x)は微分可能でf(x)は連続としf(x)は関係式
f(x)+∫[0～x]f(t)=sinx
の式を満たしている。という問題です。(1)～(4)は解けたつもりです。しかし。

(1)f(x)+f´(x)の関係式は？――――f(x)+f´(x)=cosx
(2)(d/dt)f(x)e^xを求めよ。――――(d/dt)f(x)e^{x}=e^{x}(f(x)+f´(x))=e^{x}cosx
(3)∫[0～x]e^{t}(sint+cost)=∫[0～x]e^{t}(sint-cost)+e^{x}(sinx+cosx)-1の証明
(4)∫[0～x]e^{t}costを求めよ。――――∫[0～x]e^{t}cost=[e^{x}(sinx+cosx)-1]/2
(5)f(x)は？

という問題です。(1)～(4)は解けたつもりです。しかし(5)が解けません。(1)～(4)をどう使えばいいの？

回答No.3

fushigichan · ベストアンサー

＃２です。

＞(d/dt)f(x)e^xの積分がf(x)e^x-f(0)e^0になるのがいまいちよくわかってません。

f(x)e^xという関数を、（f(x)にe^xをかけた関数）
f(x)e^x=g(x)とおいてみましょう。
f(x)e^xはxの関数だから、g(x)とおいてもいいですよね。

さて、
(d/dt)f(t)e^t=g'(t)
この不定積分
∫(d/dt)f(t)e^tdt=∫g'(t)dt=g(t)+Cとなりますが、
[0→x]という範囲で定積分すると、
∫[0→x](d/dt)f(t)e^tdt=[g(t)]0→x
=[f(t)e^t]0→x
=f(x)e^x-f(0)e^0
でよろしいでしょうか。

＞PS．このf(x)+∫[0～x]f(t)dt=sinx
は誘導なしに解けるものなのでしょうか？

誘導なしというのは、(1)～(5)の小問なしに、ということですよね。
難しいのではないでしょうか・・・

一般に、
dy/dx=f(x)y+g(x)
の形になる微分方程式を、線形方程式といいます。
yとその導関数y'についての一次式の形だからそう呼びます。
これを解くにはまず、変数分離形
y'=f(x)y　の解を求めるようにします。
こういった手順は、誘導なしには、難しいと思います。
大学では解析学で一階線形微分方程式の解法として学びます。

上のような解説は、「解法の手引き数学３」（矢野健太郎）
には触れていますが、「チャート式数学３」には載っていません。
チャート式には、変数分離型の微分方程式までくらいしか書かれていませんでした。
かなり、ハイレベルかなあという気がしました。

ONEONEさんの問題は、いつもかなり水準高いですね。
本問でも、まずは誘導つきで、ある程度できて
解説を読んで納得できれば、よしとしていいのではないでしょうか。
ご参考になればうれしいです。

お礼

補足で質問させていただいた箇所は理解できました。

ＰＳのところは「難しい」のであって「できない」わけではないのですよね。
できるかできないかだけ少し気になったものですから。
＞いつもかなり水準高い
なにやら問題の左上に「標準」のマークが打ってあるのですが気のせいでしょうか（笑）
誘導がついていることでかなり簡単になったのでしょうね。
変数分離型の微分方程式は物理で使ってますので初歩のところはわかっているのですが。
またまた、どうもありがとうございました。

回答No.4

Aquoibonist

#1のものです。補足についてですが、
＞＞(d/dt)f(x)e^{x}=e^{x}cosxを両辺を０～xで積分する
＞この発想はどこから来るのでしょうか？テクニック？試行錯誤？慣れ？
これは慣れといえば慣れなのかもしれませんし、テクニックといえばテクニックかもしれませんが・・・。
大抵の場合(例外はありますが)、誘導に従えば、答えは出ます(と強く言い切ってもいいものかは疑問の残るところですが)。要は、その誘導の各小問の段階で得られた結果をどのように次の小問あるいは以下の小問に活用するかだと思います。
「問いの(４)でわざわざ∫[0～x]e^{t}costdtの値を求めさせているけれども、この意図は何なのか?」とか考えたり、「問いの(２)でe^{x}cosxという値が出てきているし、(２)の結果の右辺を積分すると(この積分するという発想は、必要だと思いますが)、f(x)が(いらないものはついているけれども一応)出てくるから、これと(４)の結果は何か繋がるんじゃないか」とか、そういう小問の意図(?)を読んだり・・・。
たとえば０～ｘの区間で積分するという発想は、単に(４)の問題で、積分区間をそのようにとっているからにすぎません。
結局、問題の構造(?)をみて、私は＃１の回答を書いたということになるかもしれません。
問題の構造(?)をみて問題を解くということが、少なくとも有効な場合があると私は思います。しかし、そうした発想(というか姿勢)におぼれてしまうことは、自由な発想をするという数学の基本姿勢に逆行することだと思います。
しかし、時間内にたくさんの問題をこなさないといけない入試問題なんかの場合には、こうしたテクニックは必要なのかもしれません(いわゆる受験のテクニックとでも言うやつでしょうか・・・)。
少し偉そうなことを言ってしまったかも知れませんが、ご参考になれば幸いです。

お礼

いろいろなご指摘ありがとうございます。
＞そうした発想(というか姿勢)におぼれてしまうことは、自由な発想をするという数学の基本姿勢に逆行することだと思います。

確かにそうですね。この点については反省して、精進していきたいと思います。
思慮、考慮、考察、（？）が足りませんでした。

回答No.2

fushigichan

ONEONEさん、こんばんは。
大変難しい微分方程式ですね。

＞f(x)+∫[0～x]f(t)=sinx・・・（☆）
＞(1)f(x)+f´(x)の関係式は？

y=f(x)の原始関数をy=F(x)とすると、
F'(x)=f(x)

（☆）の両辺をｘで微分すると
f'(x)+d/dx{F(x)}=cosx
d/dx{F(x)}=F'(x)=f(x)であるから
f'(x)+f(x)=cosx

＞(2)(d/dt)f(x)e^xを求めよ。

(fg)'=f'g+fg'　の公式にあてはめると、
(d/dt)f(x)e^x=f'(x)e^x+f(x)e^x=(f'(x)+f(x))e^x
=e^x*cosx

＞(3)∫[0～x]e^{t}(sint+cost)=∫[0～x]e^{t}(sint-cost)+e^{x}(sinx+cosx)-1の証明

∫f'g=fg-∫fg'　の公式にあてはめて考える。
f=e^x
g=(sinx+cosx)とおくと、
f'=e^x
g'=(cosx-sinx)=-(sinx-cosx)

∫[0→x]e^t(sint+cost)dt=e^x(sinx+cosx)-∫[0→x]e^t(cost-sint)dt+C
と表せる。
このとき、x=0とすると、左辺は０右辺は１＋Ｃ
ゆえに、Ｃ＝－１
よって、
∫[0→x]e^t(sint+cost)dt=e^x(sinx+cosx)+∫[0→x]e^t(sint-cost)dt-1
という式が証明されました。

＞(4)∫[0～x]e^{t}costを求めよ

(3)より、
左辺＝∫[0→x]e^tsintdt+∫[0→x]e^tcostdt
右辺＝∫[0→x]e^tsintdt-∫[0→x]e^tcostdt+e^x(sinx+cosx)-1
整理すると、
2∫[0→x]e^tcostdt=e^x(sinx+cosx)-1
ゆえに、
∫[0→x]e^tcostdt={e^x(sinx+cosx)-1}/2

＞(5)f(x)は？

(2)より、０からｘまで積分すると
f(x)e^x-f(0)e^0=∫[0→x]e^t*costdt
ゆえに、f(x)e^x=∫[0→x]e^t*costdt

(4)より、
∫[0→x]e^tcostdt={e^x(sinx+cosx)-1}/2
であったから、これがf(x)e^xと等しいので
両辺e^xで割ってやると、
f(x)={e^x(sinx+cosx)-1}/2e^x
f(x)=(sinx+cosx)/2-1/2e^x

ということになると思います。
f(x)={e^x(sinx+cosx)-1}/2e^x のほうがきれいかな？

ご参考になればうれしいです。

補足

(1)～(4)までも解説していただいてありがとうございます。

(d/dt)f(x)e^xの積分がf(x)e^x-f(0)e^0になるのがいまいちよくわかってません。

PS．このf(x)+∫[0～x]f(t)dt=sinx
は誘導なしに解けるものなのでしょうか？

回答No.1

Aquoibonist

(２)の問題の結果の(d/dt)f(x)e^{x}=e^{x}cosxを
両辺を０～xで積分すると
f(x)e^{x}－f(0)e^{0}=∫[0～x]e^{t}costdt
左辺のf(0)e^{0}は、問題に与えられている関係式より
f(0)=0なので、0。
右辺の値は(４)の問題の解答よりわかってますよね。
つまり、(４)の問題の解答に、e^(-x)かけたものが答えだと思います。

お礼

ありがとうございました

補足なんですが
＞(d/dt)f(x)e^{x}=e^{x}cosxを両辺を０～xで積分する

この発想はどこから来るのでしょうか？テクニック？試行錯誤？慣れ？

補足

すべての積分にdtを付けるの忘れました。
どうして忘れちゃったんだろう？すみません。