∫1/(1-sinx)dxのやり方がよくわかりませ

質問

∫1/(1-sinx)dxのやり方がよくわかりません。

教科書ではtan(x/2)をtと置きとくと書いてあったので
∫1/(1-sinx)dx=2/(1-t)+C となり
tをもとに戻せばこたえなのでしょうか？

できれば答えややり方なども教えていただけると助かります。

回答よろしくお願いいたします。

回答No.2

info222_ · ベストアンサー

教科書の解答は卑怯な解答です。
ヒントを出しながら、そのヒントを使わない解答の答をかいている。
あまり気にしなくても良いでしょう。
三角関数の不定積分の解答は何通りもありえます。それらの答は定数分（任意定数に含めれば表に出ない）を除けば三角関数の公式を使えば、同じになります。

>教科書の方の解答を見たのですが
>((sinx+1)/cosx)+1
=(sinx+cosx+1)/cosx
=((2sin(x/2)cos(x/2))+2(cos(x/2))^2)/((cos(x/2))^2-(sin(x/2))^2)
=2cos(x/2)(sin(x/2)+cos(x/2))/((sin(x/2)+cos(x/2))(cos(x/2)-sin(x/2)))
分子分母の(sin(x/2)+cos(x/2))を約分して
=2cos(x/2)/(cos(x/2)-sin(x/2))
分子分母をcos(x/2)で割ると
=2/(1-tan(x/2))
となって両方の(答)が等しいことがわかるでしょう。

お礼

ご丁寧にありがとうございます。
大変参考になりました

回答No.1

info222_

>tan(x/2)をtと置きとくと書いてあったので
>∫1/(1-sinx)dx=2/(1-t)+C となり
>tをもとに戻せばこたえなのでしょうか？
その通りです。
sin(x)=2t/(1+t^2), dx=2dt/(1+t^2)なので
∫1/(1-sin(x))dx=∫ 1/(1-(2t/(1+t^2))) 2dt/(1+t^2)
=∫ 2/(1+t^2-2t) dt
=∫ 2/(t-1)^2 dt
=2/(1-t)+C
tを元のxに戻して
=2/(1-tan(x/2))+C ...(答)

お礼

回答ありがとうございます。
教科書の方の解答を見たのですが
((sinx+1)/cosx)+1
となっておりました。これは貴方の回答を何らかの方法で変形したということでしょうか？