【問題】∫[-π/2～π/2]((x*sinx)/(1+e^x))dx

質問

【問題】∫[-π/2～π/2]((x*sinx)/(1+e^x))dxを解け。
手も足もでません…
解き方を教えていただきたいです^^;

よろしくお願いします。。。

回答No.1

aquatarku5 · ベストアンサー

直前のご質問と似た感じの問題ですね。

t=-xとおくと、

I=∫[-π/2～π/2](x*sin(x)/(1+e^x))dx
=∫[π/2～-π/2]((-t)*sin(-t)/(1+e^(-t)))(-dt)
=∫[-π/2～π/2](t*sin(t)/(1+e^(-t)))dt
=∫[-π/2～π/2](t*sin(t)*e^t/(e^t+1))dt
=∫[-π/2～π/2](t*sin(t)*(1-1/(1+e^t)))dt
=∫[-π/2～π/2](t*sin(t)-t*sin(t)/(1+e^t))dt
=∫[-π/2～π/2] t*sin(t)dt-I

したがって、
I={∫[-π/2～π/2] t*sin(t)dt}/2
=∫[0～π/2] t*sin(t)dt
=1

※∫t*sin(t)dt=t(-cos(t))-∫(-cos(t))dt=-tcos(t)+sin(t)+C

お礼

ありがとうございました!!!!
助かりました^^ｗ
もうひとつのやり方も思いついたので
かるく説明しておきます＾＾
-π/2～0と0～π/2に分けて前者を式変形していって0～π/2にして、
それからその求めたやつともとの後者を足して通分したらx*sinxの積分になってうまくできました^^ｗ

ありがとうございました!!!!