面積を求める問題

質問

以下の問題についてどのような方法で解いたらよいでしょうか？

問題
長方形ABCDにおいて、DC上の点をE、AD上の点をFとします。長方形の長辺が14cm、BF=13cm、EF=6cm、CE=3cmの場合、三角形EFDの面積を求めなさい。

回答No.3

KEIS050162 · ベストアンサー

計算が面倒なので、以下のヒント（合っているかどうかは不明）のみです。

＃２さんの図をお借りします。（CE=3では？）

BEを求めると√(14^2+3＾2） = √205になります。

一方、△BEFで、√（BF^2+FE^2) = √(13^2 + 6^2)　= √205　なので、
BF^2+FE^2 = BE^2 となり、△BFEは直角三角形となります。

これから、△ABFと△DFEは、相似で辺の比が 13:6　となります。
（相似の証明は省きます）

あとは、DE=X、DF=Yとでもおいて、ゴリゴリ計算していくとX,Yが求まると思います。

解法のヒントにでもなれば幸いです。

お礼

相似を利用し、XYを使って方程式を作るのがわかりやすいですね。ありがとうございました。

回答No.7

staratras

No.6です。分数の線が抜けていました。失礼しました。

誤：tan(α+β)=(tanα+tanβ)(1-tanαtanβ)=3/4
正:tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)=3/4

回答No.6

staratras

三角関数を使ってみました。図のように角度α、βを定め、FDをxとします。

BE^2=BC^2+CE^2=205=BF^2+FE^2 だから　角BFE=90°

tanα=3/14　　tanβ=6/13　だから
tan(α+β)=(tanα+tanβ)(1-tanαtanβ)=3/4

ED/x=tan(90°-(α+β))　だから
ED=xtan(90°-(α+β))=x/tan(α+β)=(4/3)x

FD^2+ED^2=6^2 に代入すると
x^2+(16/9)x^2=36
(25/9)x^2=36
x^2=36・9/25=324/25　(x=18/5)

三角形EFDの面積=1/2ED・FD=1/2・(4/3)x^2=216/25

回答No.5

shuu_01

僕も一瞬、∠BFE が直角かと計算したのですが、

CE ＝ 4cm （笑）と計算したので、

「あぁ、直角なら簡単だったのになぁ」と素通りしてました（笑）

図の数字、間違ってごめんなさい

回答No.4

178-tall

< ANo.3

>△BFEは直角三角形…

これを見逃した報いが、二次方程式を解かされるという結末でした。

これに気づけば、一次連立方程式の解法で開放されてたわけです。

　w + 6h/13 = 14
　-6w/13 + h = 3

ah !

回答No.2

shuu_01

図がないと考えにくいので、図を描いてみました

長方形の縦、横どっちが 14cm か記載されてませんが、
下図のように ABCD とおくと、

AB が 14cm だったら、BF の長さが足りず、
BC ＝ 14cm ですね

三平方の定理で BE ＝ 2√53cm とわかります

DE ＝ x cm、DF を y cm とかおいて、
△DEF、△ABF に三平方の定理を当てはめると、
連立方程式ができ、x、y が求められない訳じゃないのですが、
すごい面倒くさい計算になり、解こうという気がしませんでした

もっと簡単な解法あるのでしょうか？

回答No.1

178-tall

>長方形ABCDにおいて、DC上の点をE、AD上の点をFとします。長方形の長辺が14cm、BF=13cm、EF=6cm、CE=3cmの場合、三角形EFDの面積を求めなさい。

「奇手」も思いつかず、ひたすら勘定。その道筋だけでも…。

長方形の長辺は BC らしい。
(AB = 14 じゃ BF=13cm はあり得ない)
あとは、ひたすらピタゴラス算式の勘定です。

h = AB, w = AF とすれば、
　h^2+ w^2= 13^2　　　　…(1)
　(h-3)^2 + (14-w)^2 = 6^2　　…(2)

たとえば (2) から 14-w = √{6^2 - (h-3)^2}
これを (1) へ入れると、
　820h^2 - 4056h - 18252 = 0
らしい。

h, w がわかれば面積は可算だろう。

[参考]
非負解は h=7.8 cm, w=10.4 cm らしい。