算数の問題

質問

下の図でAD=4cm,BC=8cm,点Pは対角線の交わる点EよりEB上をBに向かって毎秒１ｃｍの速さで進みます。APをを伸ばしBCと交わった点をFとします。

問一　三角形PADの面積が三角形PFBの面積の四倍になるの点Pが動き始めてから何秒後か。
問二　AFとDCが平行になったとき、台形ABCDの面積は三角形PFBの面積の何倍ですか。

問一は△AEDと△CEDの相似関係からEB=６と出し、また△PFBの面積：△PAD面積＝１：４＝BF×BF：４×４からBF×BF＝４よりBF＝２と出しPB：PD＝６－PE：３＋PEからPE＝３、すなわち三秒後となりました

問二は五倍となったのですがあっていますか？
また問一は小学生に理解できない説明でしょうか？
算数に詳しい方よろしくおねがいします！

回答No.2

Mr_Holland · ベストアンサー

＞問二は五倍となったのですがあっていますか？

　　答えは6倍だと思います。
　四角形AFCDは平行四辺形になりますので、FC=AD=4(cm)　です。
　また BC=8(cm) から、　BF=BC-FC=4(cm) と分かります。
　△PBFと△PADは合同（形と大きさが同じ三角形）なので　PF=PA
　△PBFと△ABFで底辺をそれぞれ線分PF、AFとすれば高さは共通なので　△ABF=2△PBF　　・・・・(1)
　△ABFで線分BFを底辺としたときの高さは　平行四辺形AFCDで線分FCを底辺としたときの高さと同じなので　平行四辺形AFCD=2△ABF　　・・・・(2)
　(1)と(2)を組み合わせて考えると、　平行四辺形AFCD=4△PBF ・・・・(3)
　(1)と(3)を組み合わせて考えると、　台形ABCD=△ABF+平行四辺形AFCD=2△PBF+4△PBF=6△PBF

＞また問一は小学生に理解できない説明でしょうか？

　先ず質問者さんの解答を見ますと、問題にBD=9(cm)ということが分かる情報があるように思われるのですが、いかがですか？
　以下、その情報があるものとして回答します。

　純粋に小学算数の枠で考えますと、文字式や平方根の計算（BF×BF＝４よりBF＝２）は未履修ですので理解が難しいでしょう。また　進学塾などでは教えていることもあるかと思いますが、それでもいささか複雑な気がします。
　相似や相似比については、拡大図と縮図（あるいは図形の敷き詰め）　で履修していますので、拡大図や縮図　という用語を使えば理解可能だと思います。

　従って、相似は他の言葉に置き換え、文字式や平方根を使わない場合、次のような説明ができると思います。

１）　AD∥BC　で平行線の錯角が等しい（履修済み）ので　△EAD∽△ECB
　　（△EADは△ECBの縮図になっていると説明します。）
　　対応する辺（ADとCB）の長さを比べると　△ECBの辺の長さは△EADの辺の長さの2倍になっている。
　　だから　BE:ED=2:1　となるので、　BD=9(cm)　から　EB=6(cm)　　　・・・・(4)

２）同様にAD∥BCから　△PAD∽△PFB
　　（△PADは△PFBの拡大図になっていると説明します。）
　　△PADの面積は△PFBの面積の4倍なので　△PADの中には△PFBと同じ（合同な）三角形が4つ敷き詰められている。（ここで△PADを4分割した図を見せます。）
　　このことから　AP=2PF　となっているので、△PADは△PFBの辺の長さを2倍した拡大図になっている。
　　だから　PD:PB=2:1　となるので、　BD=9(cm)　から　PB=3(cm)　　　・・・・(5)

　　(4)と(5)から　EP=EB-PB=3(cm)
　　ここまで進む時間は、点Pは毎秒1cmの速さで進むことから　3÷1=3　(秒後)　　となります。

お礼

大変遅くなりました、無事理解できました。

回答No.3

nattocurry

台形ABCDの条件は、他に無いのでしょうか？

たとえば、∠ABC＝90°の場合と、∠DCB＝90°の場合では、対角線BDの長さも線分DBの長さも異なります。
それは解りますよね？

線分BDの長さが不定なら、問一は解けませんよね。

回答No.1

noname#247928

まず、問一は解けません。ADとBCから、BEを求めることは不可能です。ちなみに、△AEDと△CEDは相似ではありません。

仮に、BDが9cmという事がわかっているのなら、△ADEと△BECの相似からBE=6と出すことはできます。しかし、小学生は相似が使えないと思っていたのですが、そのあたりはどうなんでしょうか・・・。

そして問二は６倍です。