ミクロ経済学複占市場について

質問

ミクロ経済学についての質問です。

複占市場において、企業の最適反応曲線上では、企業の等利潤曲線の接線の傾きが水平になる理由を教えてください。

どなたかご存知の方、ご教授ください。宜しくお願い致します。

回答No.2

statecollege

訂正　回答NO1の文中にある表現は

企業１の最適反応関数は企業1の利潤をｘ利潤関数(*)をｘで偏微分して0と置くことで得られる
　⇒企業１の最適反応関数は企業1の利潤関数(*)をｘで偏微分して０と置くことで得られる

と直してください。

ついでなので、回答NO1で等利潤曲線の傾きを求めたやり方は、効用の無差別曲線の傾き（MRS)を求めるやり方と同じだということに注意しておこう。効用関数が

(*)　　U = u(x,y)

と与えられたとき、無差別曲線の傾きは、Uをパラメータと考えて、(*)の両辺をｘで微分（偏微分ではなく、全微分）して

　　　　0 = ∂u/∂ｘ + (∂u/∂y )(dy/dx)

よって、

　- dy/dx = (∂u/∂x)/(∂u/∂y)

となることは知っているでしょう。等利潤曲線の傾きも同様にして得たのです。

回答No.1

statecollege

これを数学的に示すためには、偏微分と合成関数の微分の知識が必要ですが、よろしいですか？

いま、同質の財を生産する企業１と２がクールノー競争しているとする。企業１と２の生産量をそれぞれｘとｙで表わそう。問題の財に対する需要は（逆）需要関数

P= P(Q)
Q = x + y

企業１の費用関数は

C = C(x)

で表わされるとする。すると企業１の利潤は

(*) 　　　　 Pｘ - C(x) = P(x+y)x - C(x)

となる。企業１の最適反応関数は企業1の利潤をｘ利潤関数(*)をｘで偏微分して0と置くことで得られる。すなわち、企業1の最適反応曲線とは

(**)　　　　　P'(x+y)x + P(x+y) - C'(x) = 0

を満たすｘとｙの組をx-ｙ平面上に描いたグラフである。一方、企業1の等利潤曲線とはΠをパラメータとして

(***)　　 Π = P(x+y)x - C(x)

で表わされるｘとｙの組の、ｘ－ｙ平面上のグラフである。等利潤曲線の傾きは等利潤曲線(***)をｘで微分（偏微分でなく、全微分)することによって得られる。すなわち、.

　　　　　０ = P'(x+y) (1 + dy/dx)x + P(x+y) - C'(x)

これより、等利潤曲線の傾きは

(****)　　　　　dy/dx = -[P'(x+y) + P(x+) -C'(x)]/[P'(x+y)x]

となる。　この(****)式の右辺に最適反応曲線上の点(**)を代入すると、

　　dy/dx = 0

すなわち、等利潤曲線は最適反応曲線上では傾きがゼロ、すなわち、水平となることが示された。