円に内接する四角形の問題について・・・（数I）

質問

円に内接する四角形に関する問題でどこが間違っているのかを教えて下さい

Ｑ）円に内接する四角形ＡＢＣＤにおいてＡＢ＝５、ＢＣ＝ＣＤ＝７、ＤＡ＝３である

（１）∠ＢＡＣの大きさを求めよ

これは分かりました
余弦定理を使って、一発です

６０°

この計算過程でＡＣ＝８も求まりました

（２）辺ＡＢのＢの方の延長上にＡＢ＝ＢＰとなる点Ｐをとる。２直線ＡＤ、ＰＣは、ＡＤのＤの方の延長上とＰＣのＣの方の延長上で交わり、その交点をＱとする。ＡＱの長さを求めよ。

答えのページに、ＡＱ＝４０とありました

でも、そうならないのです

僕の考え方です
（１）より∠ＢＡＣ＝６０°なので弧ＢＣに対する円周角の定理より
∠ＢＤＣ＝６０°
ＢＣ＝ＣＤ＝７より、△ＣＢＤは二等辺三角形なのでその底角の大きさが等しいので
∠ＢＤＣ＝∠ＤＢＣ＝６０°
ここで弧ＣＤに対する円周角の定理より
∠ＣＡＤ＝６０°
ＰＱは円の接線なので、接弦定理より
∠ＤＣＱ＝∠ＣＢＤ＝６０°

ここで、△ＱＡＣ∽△ＱＣＤ
（∵∠ＣＡＱ＝∠ＤＣＱ＝６０°、∠ＡＱＰか共通）
より、ＣＱ＝ｙ、ＤＱ＝χとすると
　　　　８：７＝ｙ：χ
　　　　８：７＝（χ＋３）：ｙ
という連立方程式が成立する・・・

となったんですけど、これだったら、χ＝３７にならないとおかしいんですね・・・
でも、どう計算してもχ＝３７にならないし、ほかの辺の比をとってもなりません

ということは、これ以前のどこかで間違いをしてしまっていることが第一に考えられるのですが、何回見直しても間違いが見つからないです

どこが間違っているのでしょうか？？？

どうかご教授お願いします！！！

回答No.2

Quarks · ベストアンサー

>ＰＱは円の接線なので、…

いいえ、ＰＱは接線ではありません。単に、Ｐ，Ｃを通る直線です。
ちょっと考えてみると、
ＡＢ＝ＢＰ　或いは　ＡＰ=10 という条件を使わないで「解けちゃった」のはおかしいですよね。

(解答)
△ＡＰＱにおいて、線分ＡＣは頂角Ａの二等分線ですから、「頂角の二等分線と辺の比」の定理から
ＡＰ：ＡＱ＝ＰＣ：ＣＱ

△ＡＣＰに余弦定理を適用してＰＣを求めると
(PC)^2=10^2＋8^2- 160・cos60°
PC=√(84)
ＡＰ：ＡＱ＝ＰＣ：ＣＱ より
AQ=Xとおいて
∴ CQ=(√(84)/10)・X

△APQに余弦定理を適用して
{(√84)+(√(84)/10)・X}^2=10^2＋X^2-2X・cos120°
これを解くと
X=40,5/2
5/2は不適当ですから、X=40

もっとスマートな解答があるのかも知れませんが、一例として。

お礼

ＰＱが円周上の一点Ｃを通るとは限らないからＰＱは接点じゃない！

ってことに気づかせてくれました

解説も詳しくありがとうございます

ありがとうございます

回答No.1

yokkun831

>ＰＱは円の接線なので、

これはどこからきたのでしょう？
これが間違いのもとでは？

お礼

ＰＱが円周上の一点Ｃを通るとは限らないからＰＱは接点じゃない！

ってことに気づかせてくれました

ありがとうございます