平面図形の問題

質問

図のように、∠A=30°、∠B＝90°、BC＝1である直角三角形ABCがある。辺AB上に∠CDB＝45°となるように点Dをとる。また直線ABと点Aで接し、点Cを通る円と直線CDの交点をEとする。

（１）線分ADの長さを求めよ。また、∠DAEを求めよ。
（２）線分AEの長さを求めよ。
（３）弦ACに関して、点Eと反対側の弧上に点Pをとる。
　　　△ACPの面積の最大値を求めよ。

と言う問題があるのですが、（１）の１つ目の問題しか解けませんでした。分かったものだけでもいいので、お待ちしております。

回答No.2

Quattro99

(2)∠DAEが求まっているので、∠CAEも求まります。すると、∠CAE=∠ACEとわかり、△ACEが二等辺三角形とわかります。
EからACに垂線を降ろすと交点（Fとする）はACの中点になりますから、AFの長さもわかります。
ここで、直角三角形AEFについての三角比を知っていれば、すぐに求まります。知らない場合は、半角の定理から導くか、あるいは別の方法を考えることになります。
ここでは、EからABに垂線を降ろし（交点をGとする）、AEをxとおいて、△AEGについて三平方の定理を考えれば求まります。

(3)はACを底辺と見て高さが最大になればよいので、それは△ACPがAP=CPの二等辺三角形になるときです。そのときの高さは、円の中心をOとすると、FO+OPです。△ACOが正三角形であることに気づけば後はできると思います。

回答No.1

owata-www

計算がめんどうなのでヒントだけ
(1)
接弦定理より∠ACE＝∠EAD

(2)
(1)が分かれば…

(3)
どの時が面積最大になるか
∠AECより∠APCがわかる…

以上、以下は解けたら補足に