曲率の最大値が最小となる曲線

質問

グラフの赤、緑線がつながった線において、
曲率の最大値が最小となる緑部の曲線は
どのような関数であらわされますか？

回答No.4

stomachman

ANo.2へのコメントについてです。

　ありゃりゃん？　ANo.2では、滑らかに繋がっている関数で表される、という条件は当然満たされています（さもなければ、継ぎ目で曲率が無限大に発散しちゃうんだから）。しかし、ANo.2じゃお気に召さないようです。
　となると、本当の所はどういう条件を課したいんでしょうかね。それをキチンと補足してくれと要求したって、きっと出来ないんでしょうし…

　しょーがねーから推測してみますと、えーと、ご質問に「どのような関数であらわされ」るか、とあることから、とんでもなく飛躍して憶測すると、もしかして、多項式やせいぜい初等関数だけを使って1本の式で書けるもの、というような条件なのかなあ。（この条件は、滑らかに繋がっているかどうかという事とは、関係ないんですけどね。）
　仮にそういう話だとするのなら、たとえば、3次ベジェ曲線を使って制御点P1～P4を図のように配置してやれば、P2をy軸上で原点からうんと離し、P3をx軸上で原点からうんと離すことによって、やはり曲率の最大値を幾らでも小さくできます。（3次ベジェ曲線がどういう式で表されるかは簡単に調べられるでしょう。）もちろん、曲率の最大値を幾らでも小さくできるようなコタエはこれだけに限りませんが。

回答No.3

shuu_01

＞　滑らかに繋がった線の場合はどうなりますでしょうか？

えっ？　No.2 さんの回答、滑らかにつながってるよ

元々の問題文が 直線と曲線が x軸、y軸でつながってる

１つの方程式で表せない曲線でした

なんか変な問題だなぁと思ってたら、

No.2 さんの回答を見て、目から鱗が落ちました

僕は問題文から x ≧ 0、y ≧ 0 で しかも 曲線部分は

１つの方程式で表せると思い込んでたのですよね

でも、問題文の線は切り貼りした線ですし、

回答だって切り貼りして OK ですよね

問題文では x ≧ 0、y ≧ 0 なんて一言も言ってないし、

No.2 さんが正解と思います

回答No.2

stomachman

こうすれば、曲率の最大値（黄色の円の半径の逆数）はいくらでも小さくできるでしょう。

補足

ありがとうございます。
確かに曲率はいくらでも小さくなりますね。

滑らかに繋がった線の場合はどうなりますでしょうか？

回答No.1

shuu_01

どこで出題された問題なの？

原文がこうなの？

曲率の最大値が最少もなにも、この線を表す方程式は

y ≧ yD の時、x ＝ 0

x ≧ xC の時、y ＝ 0

0＜ x ＜　ｘC の時

円の方程式

（ x / xC － 1）^2 ＋ （ y / yD － 1）^2 ＝ 1

のうち、下半分

y ＝ yD （ 1 － √（1 － ( x / xC － 1）^2 ））

しか思い浮かびませんでした

ごめんなさい

補足

ありがとうございます。
楕円になる気もしますが、それが最小になるかは確認できるのでしょうか？