2次関数の最大・最小

質問

現在高校1年生で、2次関数を勉強しています。
最大・最小についてよくわからないことがあります。

t≦x≦t+1におけるy=x^2-2x+2の最小値を求めよ。という場合、

y=x^2-2x+2
=(x-1)^2+1　で頂点は(1,1)

(ⅰ)t<0　
(ⅱ)0≦t≦1　
(ⅲ)1<t

というふうに場合わけして解くことはわかりました。
ではもしこの問題で、最小値ではなく最大値を求めるときは

(ⅰ)t<1/2
(ⅱ)t=1/2
(ⅲ)1/2<t

という場合わけであっているのでしょうか？

また、グラフが下に凸でなく、上に凸のときの場合わけは
今書いた最小と最大の分け方が逆になるのでしょうか？

ここ数日間ずっと考えているのですが、
どんどん混乱していきよくわかりません・・・。
ややこしい説明ですみません；

どなたか教えてくださると嬉しいです。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

＞という場合わけであっているのでしょうか？
合っています。

最小値の場合分け
最大値の場合分け
は
質問者さんの場合分けでOKです。
ただし、最大値の場合分けの(ⅱ)は
(ⅰ）か(ⅲ)のどちらかに含め
「<」を「≦」にする2つの場合にした
最終的な答えにするのが一般的ではないかと思います。

＞また、グラフが下に凸でなく、上に凸のときの場合わけは
＞今書いた最小と最大の分け方が逆になるのでしょうか？
そうです。

また上に凸の放物線
y=-(x^2-2x+2)
=1-(x-1)^2　で頂点は(1,1)
の場合は逆の場合分けでいいでしょう。
つまり以下の通りです。
最小値の場合分け
(ⅰ)t<1/2
(ⅱ)t=1/2　⇒(ⅰ)か(ⅲ)のどちらかに含める
(ⅲ)1/2<t

最大値の場合分け
(ⅰ)t<0　
(ⅱ)0≦t≦1　
(ⅲ)1<t

お礼

細かくご説明してくださり、
ありがとうございました。
やはり下に凸か上に凸かで場合分けは変わるのですね。
=もどちらかに含めていいのですか。
何日も悩んでいたのですが、やっとスッキリしました。

本当にありがとうございました。

回答No.1

mgsinx

(i)t<1/2
(ii)t=1/2
(iii)1/2<t
の場合分けについてですが、これは、最小値をとる点のx座標に注目して場合分けをします。
(i)はx座標がtの点で最小値、
(ii)はx座標が1の点（いわゆる放物線の頂点）で常に最小値
(iii)はx座標がt+1の点で最小値
となります。

同様に、最大値を求める際は、最大値をとる点のx座標に注目して場合分けをします。
(i)t<1/2
(ii)t=1/2
(iii)1/2<t
の場合分けで正解です。

グラフが上に凸の場合（例えばy=-(x^2-2x+2)の場合）は、数値に全て-がかかっているので最大と最小が逆になり、場合分けの方法も最大と最小で逆になります。

お礼

ご説明ありがとうございました。
この2次関数の最大・最小でずっと頭がモヤモヤしていたのでこれでやっとスッキリしました。
ありがとうございました。