曲線半径について

質問

楕円x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上の各点における曲線半径の最大値と最小値を求めよ。
…なんですが三角関数を使ったりして解いていくのですが最大値と最小値がでません。解き方が分かる人いませんか?

回答No.3

info22 · ベストアンサー

#2です。
A#2でミスがありました。すみません。
以下のように訂正をお願いします。

＞R={(b/(a^4)}{(a^4)-(a^2-b^2)t^2}^(3/2), 0≦t≦a,0<b<a
R={(1/(ba^4)}{(a^4)-(a^2-b^2)t^2}^(3/2), 0≦t≦a,0<b<a

＞L=R^2,K={(b/(a^4)}^2(>0),u=t^2,0≦u≦a^2と置けば
L=R^2,K={(1/(ba^4)}^2(>0),u=t^2,0≦u≦a^2と置けば

＞L=K{(a^4)-(a^2-b^2)u}^3

＞Lはu=の単調減少関数です。
Lはuの単調減少関数です。

＞最大値はu=0の時L=Ka^7=(b^2)/a
＞t,Rに戻せばt=0の時Rの最大値R=b/√a
最大値はu=0の時L=Ka^12=a^4/(b^2)
t,Rに戻せばt=0の時Rの最大値R=(a^2)/b

＞最小値はu=a^2の時L=K(ab)^6=(b^8)/a^2
＞t,Rに戻せばt=aの時Rの最小値R=(b^4)/a
最小値はu=a^2の時L=K(ab)^6=(b^4)/a^2
t,Rに戻せばt=aの時Rの最小値R=(b^2)/a

回答No.2

info22

楕円は上下、左右対称ですので、b≧y≧0、a≧x≧0で考えます。
楕円上の点P(t,(b/a)√(a^2-t^2))における曲率円の半径Rは
公式
R={(1+(y')^2))^(3/2)}/|y"|
で与えられます。
この式に楕円の上半分の式
y=(b/a)√(a^2-x^2)
からy',y"を求めてRの式に代入すると
R={(b/(a^4)}{(a^4)-(a^2-b^2)t^2}^(3/2), 0≦t≦a,0<b<a
となります。この最大、最小を考えればいいですね。
簡単にするためにR^2の最大、最小を考えた方がいいですね。
L=R^2,K={(b/(a^4)}^2(>0),u=t^2,0≦u≦a^2と置けば
L=K{(a^4)-(a^2-b^2)u}^3
dL/du=-(a^2-b^2)*3K{(a^4)-(a^2-b^2)u}^2
=-3K{(a^2-b^2)^3}[u-{(a^4)/(a^2+b^2)}]^2≦0
Lはu=の単調減少関数です。
最大値はu=0の時L=Ka^7=(b^2)/a
t,Rに戻せばt=0の時Rの最大値R=b/√a
最小値はu=a^2の時L=K(ab)^6=(b^8)/a^2
t,Rに戻せばt=aの時Rの最小値R=(b^4)/a

検算はしていませんので多分大丈夫と思いますが解答の方法を理解しながら計算してみてください。

回答No.1

noname#101087

>曲線半径 ... 解き方が.....

「曲率半径」でしょうか ?

解いてみたわけじゃないので、解き方でも。
まず、「曲率半径」を。
　http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/Curvature/
>曲率と曲率半径

そして、極値を。