曲率円の方程式
図のように y = x^2 において点(1,1) で接する曲率円の方程式を求めようとしているのですが、うまくいきません。
曲線 y = f(x) の曲率円の半径を R とすると
1/R = ( 1/(1+(dy/dx)^2)^(3/2) )(d^2y/dx^2)
なので y = x^2 の曲率は
f'(x) = dy/dx = 2x
d^2y/dx^2 = 2
(dy/dx)^2 = 4x^2
より
1/R = 2/(1+4x^2)^(3/2)
R = (1+4x^2)^(3/2)/2
したがって (1,1) で接する曲率円の半径は
R = 5^(3/2)/2
また、f'(1) = 2 なので y = x^2 の (1,1) における接線の傾きは 2、法線の傾きは -1/2。したがって曲率円の中心(x0,y0)は
x0 = 1 - (5^(3/2)/2)(2/√5) = 1 - 5^(3/2)・5^(-1/2) = -4
y0 = 1 + (5^(3/2)/2)(1/√5) = 1 + (5^(3/2)/2)・5^(-1/2) = 1 + 5/2 = 7/2
また
R^2 = 5^3/4 = 125/4
なので x = 1 における y = x^2 の曲率円の方程式は
(x+4)^2 + (y-7/2)^2 = 125/4 ・・・・・※
これでいい思ったのですが、正しくないようです。というのも (1,1) での※の陽関数表示は図より
y = -√( 125/4 - (x+4)^2 )
となると思うのですが、x = 1 のときは
y = -√(125/4 - 25) = -√( 125/4 - 100/4 ) = -5/2
となってしまいます。どこがおかしいのでしょうか。
