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曲線y=e^x上で曲率が最大になる点を求めよという問題ですが、解き方が
曲線y=e^x上で曲率が最大になる点を求めよという問題ですが、解き方がわかりません。 どなたか教えてください。お願いします。
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- ryooji_f
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曲率が最大になる点を求める→曲率半径が最小となる点を求める問題ということで解きます 曲線の曲率半径Rを求める算式は下記となります（ここでdiff(y,x,1)はyをxで1回微分する、という意味です） R = (('diff(y,x,1))^2+1)^(3/2)/'diff(y,x,2) y = e^xを上式に代入してまとめます R = %e^(-x)*(%e^(2*x)+1)^(3/2) Rの最小値（極値）を求めるため、diff(R,x,1) = 0をxについて解いた結果を示します x = log(-%i), x = log(%i), x = log(-1/sqrt(2)), x = -log(2)/2 求める点は後ろの二つとなります（前の二つは曲率が虚数となるので無視） これらの点での曲率半径は-3^(3/2)/2, (3^(3/2)*%e^(log(2)/2))/2^(3/2)となります 実数値で比較すると-2.598076211353316と2.598076211353315なので x=-log(2)/2の点の方が僅かに絶対値が小さいので、こちらが求める点ということになります 曲率半径を計算する公式が何故このような形なのかはurlを参照下さい 手前のblogで恐縮ですが参考になれば幸いです
●曲率の定義は分かってますか？ ●曲率の求め方（二回微分と一回微分を用いた式）は知っていますか？ それらが分かっていれば計算するだけです． それを知らないならば，まず教科書で勉強しましょう． ただ，曲率は曲率半径（高速道路などでＲ＝３００とか表示がでますよね．あれがカーブの一番きつい所の曲率半径です．その時のハンドル角度で回り続けたときに描く円の半径です・・くどいですか？）の逆数ですから，曲率最大⇔曲率半径最小ですね。 それでy=e^xのグラフを見ていると・・・，どうも（０，１）辺りが怪しい？
お礼
お手数かけました