三次関数の最大値・最小値

質問

グラフの大体のイメージはつくれるんですがよくわかりません。
具体的な問題ですが
y=2x^3+3x^2-12xで
xのとる範囲が[-3,+3]であるときの最大値、最小値なのですが
自分なりの答えはx=3のときmax45で、x=1のときmin-7
なのですがグラフを書いて最大値、最小値の
見当をつけて計算でだしたのですが、何かいい方法があったら教えてください。

回答No.2

hinebot · ベストアンサー

３次関数の最大・最小を求める場合、範囲の両端と極大・極小値を調べます。
y=2x^3+3x^2-12x　　--(1)
の場合、x^3の係数が正ですから、ｘが小→大と変化したとき、yは増加・減少・増加の順に変化します。
（念のためですが、増加から減少、減少から増加に変化する境界がそれぞれ極大・極小値ですね。）

まず、範囲の両端を調べます。
x=-3のとき、y=2*(-27)+3*9-12*(-3)=9　　--(2)
x=3のとき、y=2*27+3*9-12*3=45　　--(3)
次に極値を調べます。これは微分してy'=0 となるxの値を調べます。
（極値では接線がｘ軸に平行、すなわち傾きが0になるからですね。)
y'=6x^2+6x-12=6(x^2+x-2)=6(x-1)(x+2)
よって、y'=0 になるときのxの値はx=-2,1です。
したがって、(1)のグラフはx=-2のとき極大、x=1のとき極小となります。
x=-2のとき y=2*(-8)+3*4-12*(-2)=20　　--(4)
x=1のとき y=2*1+3*1-12*1=-7　　--(5)

ゆえに(2)～(5)から
x=3のとき最大値 45
x=1のとき最小値 -7
となります。

ちなみに、増減表は
-3　-2　 1　 3
9 ↑20↓-7↑45
という感じですね。

お礼

くわしい説明ありがとうございます！！
理解できました。助かりました！！

回答No.1

noname#32059

微分して
増減表を書いて
グラフを書きます

詳しい説明はできません。。。
ネット上で説明するのはチトむずかしいです。

お礼

ありがとうございます。
もしお暇があれば私の答えがあっているか
教えてもらえると嬉しいです。
2次微分をするともっと簡単に分かると聞いたのですが。。。
がんばって勉強します。
ありがとうございました!