Σと二項係数の入った計算

質問

次の2つの等式
・Σ(-1)^k nCk 1/k^2 = -1/n Σ1/k (ただし、Σはkが1からnまで動くものとする)
・Σ(-1)^k nCk Σ1/m = -1/n Σ(-1)^k nCk　
　(ただし、はじめのΣはkが1からnまで動くものとし、2つ目のΣはmが1からkまで動くものとする)
が成り立つことの証明がよくわかりません。(nCkは二項係数を表すものとする)

(類似の等式：Σ(-1)^k nCk 1/k = -1/n Σ1/k (ただし、Σはkが1からnまで動くものとする)は、-log(1-z)=log(1+1/(1-z)) の両辺を巾級数に展開したときのz^nの係数を見比べることによって示せました。)

上記の証明(またはそのヒント)と、一般的に言えそうな拡張などがあれば、教えて頂けると大変有り難く存じます。

回答No.1

ask-it-aurora · ベストアンサー

どちらの等式も成り立ちません．

ひとつめの等式の左辺，右辺，ふたつめの等式の左辺，右辺をそれぞれ A[n], B[n], C[n], D[n] としましょう．
A[2] = -7/4 ≠ -3/4 = B[2]
C[1] = -1 ≠ 1 = D[1]
したがってどちらも成り立ちません．

## ついでに言うと二項定理から D[n] に現れる数列の通常型母関数は
{ 1 - (1 - x)^n }/n
なので，その和 D[n] はこれに x = 1 を代入したものなので D[n] = 1/n とわかります．

お礼

お教え頂き、有り難うございます。
頂いたコメントを参考に、もう一度考えてみたいと思います。
有り難うございました。