大学入試レベルの問題

質問

大学入試レベルの問題
nは2以上の整数であるとき、次の等式を示せ。
Σ_{k=1}^n (-1)^{k-1} k nCk = 0

（nCkはコンビネイション）

どうしても解くことができません。。
証明方法も帰納法でやっても途中でできなくなりました。

回答No.2

naniwacchi

こんにちわ。

(-1)^(k-1)の項があるので、「あれ」が使えたらなあ・・・と考えると

まず、k* nＣkを変形します。
k* nＣk
＝ k* n！/{ k！* (n-k)！ }
＝ n！/{ (k-1)！* (n-k)！ }
＝ n* (n-1)！/{ (k-1)！* (n-k)！ }
＝ n* (n-1)Ｃ(k-1)

Σは kに対する和だということを頭に入れておくと
Σ(-1)^(k-1)* k* nＣk
＝ Σ(-1)^(k-1)* n* (n-1)Ｃ(k-1)
＝ n* Σ(-1)^(k-1)* (n-1)Ｃ(k-1)
＝ n* Σ1^{ (n-1)-(k-1) }* (-1)^(k-1)* (n-1)Ｃ(k-1)
＝ n* { 1+ (-1) }^(n-1)
＝ 0

「あれ」というのは「二項定理」のことです。
#1さんの方がきちんと計算をしている！という感じがありますね。＾＾；

回答No.1

nag0720

Σ[k=1・・・n](-1)^(k-1)*k*nCk
=Σ[k=0・・・n](-1)^(k-1)*k*{(n-1)C(k-1)+(n-1)Ck}
=Σ[k=1・・・n](-1)^(k-1)*k*(n-1)C(k-1)+Σ[k=0・・・n-1](-1)^(k-1)*k*(n-1)Ck
=Σ[k=0・・・n-1](-1)^k*(k+1)*(n-1)Ck+Σ[k=0・・・n-1](-1)^(k-1)*k*(n-1)Ck
=Σ[k=0・・・n-1](-1)^k*k*(n-1)Ck+Σ[k=0・・・n-1](-1)^k*(n-1)Ck+Σ[k=0・・・n-1](-1)^(k-1)*k*(n-1)Ck
=Σ[k=0・・・n-1](-1)^k*(n-1)Ck
=0

（最後の=0は、(1-1)^n=Σ[k=0・・・n](-1)^k*nCk　より）
（最後から２番目の=は、第１項と第３項の符号が逆のため）